教学目标
1.掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用.
2.理解原命题和逆命题的概念和关系,会找一个简单命题的逆命题.
3.渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。
教学重点和难点
角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点.
性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点.
教学过程设计
一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明
1,复习引入课题.
(1)提问关于直角三角形全等的判定定理.
(2)让学生用量角器画出图3-86中的∠AOB的角
平分线OC.
2.画图探索角平分线的性质并证明之.
(1)在图3-86中,让学生在角平分线OC上任取一
点P,并分别作出表示P点到∠AOB两边的距离的`线段
PD,PE.
(2)这两个距离的大小之间有什么关系?为什么?学生度量后得出猜想,并用直角三角形全等的知识进行证明,得出定理.
(3)引导学生叙述角平分线的性质定理(定理1),分析定理的条件、结论,并根据相应图形写出表达式.
3.逆向思维探求角平分线的判定定理.
(1)让学生将定理1的条件、结论进行交换,并思考所得命题是否成立?如何证明?请一位同学叙述证明过程,得出定理2——角平分线的判定定理.
(2)教师随后强调定理1与定理2的区别:已知角平分线用性质为定理1,由所给条件判定出角平分线是定理2.
(3)教师指出:直接使用两个定理不用再证全等,可简化解题过程.
4.理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合.
(1)角平分线上任意一点(运动显示)到角的两边的距离都相等(渗透集合的纯粹性).
(2)在角的内部,到角的两边距离相等的点(运动显示)都在这个角的平分线上(而不在其它位置,渗透集合的完备性).
由此得出结论:角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
二、应用举例、变式练习
练习1填空:如图3-86(1)∵OC平分∠AOB,点P在射线OC上,PD⊥OA于D
PE⊥OB于E.∴---------(角平分线的性质定理).
(2)∵PD⊥OA,PE⊥OB,----------∴ OP平分∠AOB(-------------)
例1已知:如图3-87(a),ABC的角平分线BD和CE交于F.
(l)求证:F到AB,BC和AC边的距离相等;
(2)求证:AF平分∠BAC;
(3)求证:三角形中三条内角的平分线交于一点,而且这点到三角形三边的距离相等;
(4)怎样找△ABC内到三边距离相等的点?
(5)若将“两内角平分线BD,CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD,CE交于F,如图3-87(b),那么(1)~(3)题的结论是否会改变?怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点?共有多少个?
说明:
(1)通过此题达到巩固角平分线的性质定理(第(1)题)和判定定理(第(2)题)的目的.
(2)此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法:先确定两条直线交于某一点,再证明这点在第三条直线上。
(3)引导学生对题目的条件进行类比联想(第(5)题),观察结论如何变化,培养发散思维能力.
练习2已知△ABC,在△ABC内求作一点P,使它到△ABC三边的距离相等.
练习3已知:如图3-88,在四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥BC,AD⊥DC.求证:点C在∠DAB的平分线上.
例2已知:如图3-89,OE平分∠AOB,EC⊥OA于C,ED⊥OB于D.求证:(1)OC=OD;(2)OE垂直平分CD.
分析:证明第(1)题时,利用“等角的余角相等”可得到∠OEC=∠OED,再利用角平分线的性质定理得到OC=OD.这样处理,可避免证明两个三角形全等.
练习4课本第54页的练习.
说明:训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力.
三、互逆命题,互逆定理的定义及应用
1.互逆命题、互逆定理的定义.
教师引导学生分析角平分线的性质,判定定理的题设、结论,使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反,得出互逆命题、互逆定理的定义,并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子.教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系,其中任何一个做为原命题,那么另一个就是它的逆命题.
2.会找一个命题的逆命题,并判定它是真、假命题.
例3写出下列命题的逆命题,并判断(1)~(5)中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题:
(1)两直线平行,同位角相等;
(2)直角三角形的两锐角互余;
(3)对顶角相等;
(4)全等三角形的对应角相等;
(5)如果|x|=|y|,那么x=y;
(6)等腰三角形的两个底角相等;
(7)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
说明:注意逆命题语言的准确描述,例如第(6)题的逆命题不能说成是“两底角相等的三角形是等腰三角形”.
3.理解互逆命题、互逆定理的有关结论.
例4判断下列命题是否正确:
(1)错误的命题没有逆命题;
(2)每个命题都有逆命题;
(3)一个真命题的逆命题一定是正确的;
(4)一个假命题的逆命题一定是错误的;
(5)每一个定理都一定有逆定理.
通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义.
四、师生共同小结
1.角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么?
2.三角形的角平分线有什么性质?怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点?
3.怎样找一个命题的逆命题?原命题与逆命题是否同真、同假?
五、作业
课本第55页第3,5,6,7,8,9题.
课堂教学设计说明
本教学设计需2课时完成.
角平分线是符合某种条件的动点的集合,因此,利用教具,投影或计算机演示动点运动的过程和规律,更能展示知识的形成过程,有利于学生自己观察,探索新知识,从中提高兴趣,以充分培养能力,发挥学生学习的主动性.
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