二次函数的图象教案

二次函数的图象教案

　　2.4二次函数＝ax2+bx+c的图象

　　本节课在二次函数＝ax2和＝ax2+c的图象的基础上，进一步研究＝a(x-h)2和＝a(x-h)2+的图象，并探索它们之间的关系和各自的性质．旨在全面掌握所有二次函数的图象和性质的变化情况．同时对二次函数的研究，经历了从简单到复杂，从特殊到一般的过程：先是从＝x2开始，然后是＝ax2，＝ax2+c，最后是＝a(x-h)2，＝a(x-h)2+，＝ax2+bx+c．符合学生的认知特点，体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性．

　　在教学中，主要是让学生自己动手画图象，通过自己的观察、交流、对比、概括和反思[

　　等探索活动，使学生达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．并能利用它的性质解决问题．

　　2.4二次函数＝ax2+bx+c的图象（一）

　　教学目标

　　(一)教学知识点[

　　1．能够作出函数=a(x-h)2和＝a(x-h)2+的图象，并能理解它与＝ax2的图象的关系．理解a，h，对二次函数图象的影响．

　　2．能够正确说出=a(x-h)2+图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

　　(二)能力训练要求

　　1．通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．

　　2．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力．

　　(三)情感与价值观要求

　　1．经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．

　　2．让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

　　教学重点[:Wz5u.c]

　　1．经历探索二次函数＝ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程．

　　2．能够作出=a(x-h)2和=a(x-h)2+的图象，并能理解它与＝ax2的图象的关系，理解a、h、对二次函数图象的影响．

　　3．能够正确说出＝a(x-h)2+图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

　　教学难点

　　能够作出＝a(x-h)2和＝a(x-h)2+的图象，并能够理解它与＝ax2的图象的关系，理解a、h、对二次函数图象的影响．

　　教学方法

　　探索——比较——总结法．

　　教具准备

　　投影片四张

　　第一张：(记作2．4．1 A)

　　第二张：(记作2．4．1 B)

　　第三张：(记作2．4．1 C)

　　第四张：(记作2．4．1 D)

　　教学过程

　　Ⅰ．创设问题情境、引入新课

　　[师]我们已学习过两种类型的二次函数，即=ax2与=ax2+c，知道它们都是轴对称图形，对称轴都是轴，有最大值或最小值．顶点都是原点．还知道＝ax2+c的图象是函数=ax2的图象经过上下移动得到的，那么=ax2的图象能否左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢?本节课我们就来研究有关问题．

　　Ⅱ．新课讲解

　　一、比较函数＝3x2与＝3(X-1)2的图象的性质．

　　投影片：(2．4 A)

　　(1)完成下表，并比较3x2和3(x-1)2的值，

　　它们之间有什么关系?

　　X-3-2-101234

　　3x2

　　3(x-1)2

　　(2)在下图中作出二次函数＝3(x-1)2的图象．你是怎样作的?

　　(3)函数＝3(x-1)2的图象与=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

　　(4)x取哪些值时，函数＝3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时，函数＝3(x-1)2的值随x值的增大而减小?

　　[师]请大家先自己填表，画图象，思考每一个问题，然后互相讨论，总结．

　　[生](1)第二行从左到右依次填：27．12，3，0，3， 12，27，48；第三行从左到右依次填48，27，12，3，0，3， 12，27．

　　(2)用描点法作出＝3(x-1)2的图象，如上图．

　　(3)二次函数)＝3(x-1)2的图象与=3x2的图象形状相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同，＝3(x-1)2的图象的对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1，0)．

　　(4)当x>1时，函数＝3(x-1)2的值随x值的增大而增大，x<1时，＝3(x-1)2的值随x值的增大而减小．

　　[师]能否用移动的观点说明函数=3x2与=3(x-1)2的图象之间的关系呢?

　　[生]=3(x-1)2的图象可以看成是函数)＝3x2的图象整体向右平移得到的.

　　[师]能像上节课那样比较它们图象的性质吗?

　　[生]相同点：

　　a.图象都中抛物线，且形状相同，开口方向相同．

　　b. 都是轴对称图形．

　　c．都有最小值，最小值都为0．

　　d．在对称轴左侧，都随x的增大而减小．在对称轴右侧，都随x的增大而增大．

　　不同点：

　　a．对称轴不同,＝3x2的对称轴是轴＝3(x-1)2的对称轴是x＝1．

　　b. 它们的位置不问．[:Wz5u.c]

　　c. 它们的顶点坐标不同． ＝3x2的顶点坐标为(0，0),＝3(x-1)2的顶点坐标为(1，0)，

　　联系：

　　把函数=3x2的图象向右移动一个单位，则得到函数＝3(x-1)2的图像．

　　二、做一做

　　投影片：(2．4．1 B)

　　在同一直角坐标系中作出函数＝3(x-1)2和＝3(x-1)2+2的图象．并比较它们图象的性质．

　　[生]图象如下

　　它们的图象的性质比较如下：

　　相同点：

　　a．图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同．

　　b. 都足轴对称图形，对称轴都为x＝1．

　　c. 在对称轴左侧，都随x的增大而减小，在对称轴右侧，都随x的增大而增大．

　　不同点：

　　a．它们的顶点不同，最值也不同.＝3(x-1)2的顶点坐标为(1．0)，最小值为0．＝3(x-1)2+2的顶点坐标为(1，2)，最小值为2．

　　b. 它们的位置不同．

　　联系：

　　把函数=3(x-1)2的图象向上平移2个单位，就得到了函数＝3(x-1)2+2的图象．

　　三、总结函数=3x2，=3(x-1)2，＝3(x-1)2+2的图象之间的关系．

　　[师]通过上画的讨论，大家能够总结出这三种函数图象之间的关系吗?

　　[生]可以．

　　二次函数＝3x2，=3(x-1)2，=3(x-1)2+2的图象都是抛物线．并且形状相同，开口方向相同，只是位置不同，顶点不同，对称轴不同，将函数＝3x2的图象向右平移1个单位，就得到函数=3(x-1)2的图象；再向上平移2个单位，就得到函数=3(x-1)2+2的图象．

　　[师]大家还记得＝3x2与＝3x2-1的图象之间的关系吗?

　　[生]记得，把函数=3x2向下平移1个平位，就得到函数＝3x2-1的图象．

　　[师]你能系统总结一下吗?

　　[生]将函数＝3x2的图象向下移动1个单位，就得到了函数=3x2-1的图象，向上移动1个单位，就得到函数＝3x2+1的'图象；将＝3x2的图象向右平移动1个单位，就得到函数＝3(x-1)2的图象：向左移动1个单位，就得到函数=3(x+1)2的图象；由函数＝3x2向右平移1个单位、再向上平移2个单位，就得到函数＝3(x-1)2+2的图象．

　　[师]下面我们就一般形式来进行总结．

　　投影片：(2．4．1 C)

　　一般地，平移二次函数=ax2的图象便可得到二次函数为=ax2+c，＝a(x-h)2，=a(x-h)2+的图象．

　　(1)将＝ax2的图象上下移动便可得到函数=ax2+c的图象，当c>0时，向上移动，当c<0时，向下移动．

　　(2)将函数＝ax2的图象左右移动便可得到函数=a(x-h)2的图象，当h>0时，向右移动，当h<0时，向左移动．

　　(3)将函数＝ax2的图象既上下移，又左右移，便可得到函数＝a(x-h)+的图象．

　　因此，这些函数的图象都是一条抛物线，它们的开口方向，对称轴和顶点坐标与a，h，的值有关．

　　下面大家经过讨论之后，填写下表：

　　=a(x-h)2+开口方向对称轴顶点坐标

　　a＞0

　　a＜0

　　四、议一议

　　投影片：(2，4．1 D)

　　(1)二次函数=3(x+1)2的图象与二次函数＝3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

　　(2)二次函数=-3(x-2)2+4的图象与二次函数=-3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

　　(3)对于二次函数＝3(x+1)2，当x取哪些值时，的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，的值随x值的增大而减小?二次函数＝3(x+1)2+4呢?

　　[师]在不画图象的情况下，你能回答上面的问题吗?

　　[生](1)二次函数＝3(x+1)2的图象与＝3x2的图象形状相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同，=3(x+1)2的图象的对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1，0)．只要将＝3x2的图象向左平移1个单位，就可以得到=3(x+1)2的图象．

　　(2)二次函数＝-3(x-2)2+4的图象与＝-3x2的图象形状相同，只是位置不同，将函数＝-3x2的图象向右平移2个单位，就得到=-3(x-2)2的图象，再向上平移4个单位，就得到=-3(x-2)2+4的图象=-3(x-2)2+4的图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2，4)．

　　(3)对于二次函数=3(x+1)2和＝3(x+1)2+4，它们的对称轴都是x＝-1，当x<-1时，的值随x值的增大而减小；当x>-1时，的值随x值的增大而增大．

　　Ⅲ．课堂练习

　　随堂练习

　　Ⅳ．课时小结

　　本节课进一步探究了函数=3x2与＝3(x-1)2，＝3(x-1)2+2的图象有什么关系，对称轴和顶点坐标分别是什么这些问题．并作了归纳总结．还能利用这个结果对其他的函数图象进行讨论．

　　Ⅴ．课后作业

　　习题2．4

　　Ⅵ．活动与探究

　　二次函数= (x+2)2-1与= (x-1)2+2的图象是由函数＝ x2的图象怎样移动得到的?它们之间是通过怎样移动得到的?

　　解：＝ (x+2)2-1的图象是由= x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的，＝ (x-1)2+2的图象是由= x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的．

　　＝ (x+2)2-1的图象向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到= (x-1)2+2的图象．

　　＝ (x-1)2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到＝ (x+2)2-1的图象．

　　板书设计

　　4．2．1 二次函数＝ax2+bx+c的图象(一) 一、1. 比较函数＝3x2与＝3(x-1)2的

　　图象和性质(投影片2．4．1 A)

　　2．做一做(投影片2．4．1 B)

　　3．总结函数＝3x2，=3(x-1)2= 3(x-1)2+2的图象之间的关系(投影片2．4．1 C)

　　4．议一议(投影片2．4．1 D)

　　二、课堂练习

　　1．随堂练习

　　2．补充练习

　　三、课时小结

　　四、课后作业

　　备课资料

　　参考练习

　　在同一直角坐标系内作出函数=- x2,=- x2-1,=- (x+1)2-1的图象，并讨论它们的性质与位置关系．

　　解：图象略

　　它们都是抛物线，且开口方向都向下；对称轴分别为轴轴，直线x=-1；顶点坐标分别为(0，0)，(0，-1)，(-1，-1)．

　　=- x2的图象向下移动1个单位得到=- x2-1 的图象；=- x2的图象向左移动1个单位，向下移动1个单位，得到＝- (x+1)2-1的图象．