《二次函数》教案

《二次函数》教案1

　　学习目标：

　　1、能够分析和表示变量间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。

　　2、用三种方式表示变量间二次函数关系，从不同侧面对函数性质进行研究。

　　3、通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力

　　学习重点：

　　能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。

　　能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。

　　学习难点：

　　能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。

　　学习过程：

　　一、学前准备

　　函数的三种表示方式，即表格、表达式、图象法，我们都不陌生，比如在商店的广告牌上这样写着：一种豆子的售价与购买数量之间的关系如下：

　　x（千克） 0 0。5 1 1。5 2 2。5 3

　　y（元） 0 1 2 3 4 5 6

　　这是售货员为了便于计价，常常制作这种表示售价与数量关系的表，即用表格表示函数。用表达式和图象法来表示函数的情形我们更熟悉。这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好？

　　二、探究活动

　　（一）合作探究：

　　矩形的周长是20cm，设它一边长为 ，面积为 cm2。 变化的规律是什么？你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗？

　　交流完成：

　　（1）一边长为x cm，则另一边长为 cm，所以面积为： 用函数表达式表示： =________________________________。

　　（2） 表格表示：

　　1 2 3 4 5 6 7 8 9

　　10—

　　（3）画出图象

　　讨论：函数的图象在第一象限，可是我们知道开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，思考原因

　　（二）议一议

　　（1）在上述问题中，自变量x的取值范围是什么？

　　（2）当x取何值时，长方形的面积最大？它的最大面积是多少？你是怎样得到的？请你描述一下y随x的变化而变化的情况。

　　点拨：自变量x的取值范围即是使函数有意义的自变量的取值范围。请大家互相交流。

　　（1）因为x是边长，所以x应取 数，即x 0，又另一边长（10—x）也应大于 ，即10—x 0，所以x 10，这两个条件应该同时满足，所以x的取值范围是 。

　　（2）当x取何值时，长方形的面积最大，就是求自变量取何值时，函数有最大值，所以要把二次函数y=—x2+10x化成顶点式。当x=— 时，函数y有最大值y最大= 。当x= 时，长方形的面积最大，最大面积是25cm2。

　　可以通过观察图象得知。也可以代入顶点坐标公式中求得。。

　　（三）做一做：学生独立思考完成P62，P63的函数表达式，表格，图象问题

　　（1）用函数表达式表示：y=________。

　　（2）用表格表示：

　　（3）用图象表示：

　　三、学习体会

　　本节课你有哪些收获？你还有哪些疑问？

　　四、自我测试

　　1、把长1。6米的铁丝围成长方形ABCD，设宽为x（m），面积为y（m2）。则当最大时，所取的值是（ ）

　　A 0。5 B 0。4 C 0。3 D 0。6

　　2、两个数的和为6，这两个数的积最大可能达到多少？利用图象描述乘积与因数之间的关系。

　　3、把一根长120cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和是多少？它们的面积和的最小值是多少？

　　（选作题）边长为12的正方形铁片，中间剪去一个边长为x（cm）的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x（cm）之间的函数表达式为

《二次函数》教案2

　　二次函数的应用

　　教学设计思想：本节主要研究的是与二次函数有关的实际问题，重点是实际应用题，在教学过程中让学生运用二次函数的知识分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义。二次函数与一元二次方程、一元二次不等式有密切联系，在学习过程中应把二次函数与之有关知识联系起来，融会贯通，使学生的认识更加深刻。另外，在利用图像法解方程时，图像应画得准确一些，使求得的解更准确，在求解过程中体会数形结合的思想。

　　教学目标：

　　1.知识与技能

　　会运用二次函数计其图像的知识解决现实生活中的实际问题。

　　2.过程与方法

　　通过本节内容的学习，提高自主探索、团结合作的能力，在运用知识解决问题中体会二次函数的应用意义及数学转化思想。

　　3.情感、态度与价值观

　　通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识和提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望。

　　教学重点：解决与二次函数有关的实际应用题。

　　教学难点：二次函数的应用。

　　教学媒体：幻灯片，计算器。

　　教学安排：3课时。

　　教学方法：小组讨论，探究式。

　　教学过程：

　　第一课时：

　　Ⅰ.情景导入：

　　师：由二次函数的一般形式y= (a0)，你会有什么联想?

　　生：老师，我想到了一元二次方程的一般形式 (a0)。

　　师：不错，正因为如此，有时我们就将二次函数的有关问题转化为一元二次方程的问题来解决。

　　现在大家来做下面这两道题：(幻灯片显示)

　　1.解方程 。

　　2.画出二次函数y= 的图像。

　　教师找两个学生解答，作为板书。

　　Ⅱ.新课讲授

　　同学们思考下面的问题，可以共同讨论：

　　1.二次函数y= 的图像与x轴交点的横坐标是什么?它与方程 的根有什么关系?

　　2.如果方程 (a0)有实数根，那么它的根和二次函数y= 的图像与x轴交点的横坐标有什么关系?

　　生甲：老师，由画出的图像可以看出与x轴交点的横坐标是-1、2;方程的两个根是-1、2，我们发现方程的两个解正好是图像与x轴交点的横坐标。

　　生乙：我们经过讨论，认为如果方程 (a0)有实数根，那么它的根等于二次函数y= 的图像与x轴交点的横坐标。

　　师：说的很好;

　　教师总结：一般地，如果二次函数y= 的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程 =0的根。

　　师：我们知道方程的两个解正好是二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标，那么二次函数图像与x轴的交点问题可以转化为一元二次方程的根的问题，我们共同研究下面问题。

　　[学法]：通过实例，体会二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程实质上就是求二次函数为0的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。

　　问题：已知二次函数y= 。

　　(1)观察这个函数的图像(图34-9)，一元二次方程 =0的两个根分别在哪两个整数之间?

　　(2)①由在0至1范围内的x值所对应的y值(见下表)，你能说出一元二次方程 =0精确到十分位的正根吗?

　　x 0 0.1 0.2[ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

　　y -1 -0.89 -0.76 -0.61 -0.44 -0.25 -0.04 -0.19 0.44 0.71 1

　　②由在0.6至0.7范围内的x值所对应的y值(见下表)，你能说出一元二次方程 =0精确到百分位的正根吗?

　　x 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70

　　y -0.040 -0.018 0.004 0.027 0.050 0.073 0.096 0.119 0.142 0.166 0.190

　　(3)请仿照上面的方法，求出一元二次方程 =0的另一个精确到十分位的根。

　　(4)请利用一元二次方程的求根公式解方程 =0，并检验上面求出的近似解。

　　第一问很简单，可以请一名同学来回答这个问题。

　　生：一个根在(-2，-1)之间，另一个在(0，1)之间;根据上面我们得出的结论。

　　师：回答的很正确;我们知道图像与x轴交点的横坐标就是方程的根，所以我们可以通过观看图象就能说出方程的两个根。现在我们共同解答第(2)问。

　　教师分析：我们知道方程的一个根在(0，1)之间，那么我们观看(0，1)这个区间的图像，y值是随着x值的增大而不断增大的，y值也是从负数过渡到正数，而当y=0时所对应的x值就是方程的根。现在我们要求的是方程的近似解，那么同学们想一想，答案是什么呢?

　　生：通过列表可以看出，在(0.6，0.7)范围内，y值有-0.04至0.19，如果方程精确到十分位的正根，x应该是0.6。

　　类似的，我们得出方程精确到百分位的正根是0.62。

　　对于第三问，教师可以让学生自己动手解答，教师在下面巡视，观察其中发现的问题。

　　最后师生共同利用求根公式，验证求出的近似解。

　　教师总结：我们发现，当二次函数 (a0)的图像与x轴有交点时，根据图像与x轴的交点，就可以确定一元二次方程 的根在哪两个连续整数之间。为了得到更精确的近似解，对在这两个连续整数之间的x的值进行细分，并求出相应得y值，列出表格，这样就可以得到一元二次方程 所要求的精确度的近似解。

　　Ⅲ.练习

　　已知一个矩形的长比宽多3m，面积为6 。求这个矩形的长(精确到十分位)。

　　板书设计：

　　二次函数的应用(1)

　　一、导入 总结：

　　二、新课讲授 三、练习

　　第二课时：

　　师：在我们的实际生活中你还遇到过哪些运用二次函数的实例?

　　生：老师，我见过好多。如周长固定时长方形的面积与它的长之间的关系：圆的面积与它的直径之间的关系等。

　　师：好，看这样一个问题你能否解决：

　　活动1：如图34-10，张伯伯准备利用现有的一面墙和40m长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场。

　　回答下面的问题：

　　1.设每个小矩形一边的长为xm，试用x表示小矩形的另一边的长。

　　2.设四个小矩形的总面积为y ，请写出用x表示y的函数表达式。

　　3.你能利用公式求出所得函数的图像的顶点坐标，并说出y的最大值吗?

　　4.你能画出这个函数的图像，并借助图像说出y的最大值吗?

　　学生思考，并小组讨论。

　　解：已知周长为40m，一边长为xm，看图知，另一边长为 m。

　　由面积公式得 y= (x )

　　化简得 y=

　　代入顶点坐标公式，得顶点坐标x=4，y=5。y的最大值为5。

　　画函数图像：

　　通过图像，我们知道y的最大值为5。

　　师：通过上面这个例题，我们能总结出几种求y的最值得方法呢?

　　生：两种;一种是画函数图像，观察最高(低)点，可以得到函数的最值;另外一种可以利用顶点坐标公式，直接计算最值。

　　师：这位同学回答的很好，看来同学们是都理解了，也知道如何求函数的最值。

　　总结：由此可以看出，在利用二次函数的图像和性质解决实际问题时，常常需要根据条件建立二次函数的表达式，在求最大(或最小)值时，可以采取如下的方法：

　　(1)画出函数的图像，观察图像的最高(或最低)点，就可以得到函数的最大(或最小)值。

　　(2)依照二次函数的性质，判断该二次函数的开口方向，进而确定它有最大值还是最小值;再利用顶点坐标公式，直接计算出函数的最大(或最小)值。

　　师：现在利用我们前面所学的知识，解决实际问题。

　　活动2：如图34-11，已知AB=2，C是AB上一点，四边形ACDE和四边形CBFG，都是正方形，设BC=x，

　　(1)AC=______;

　　(2)设正方形ACDE和四边形CBFG的总面积为S，用x表示S的函数表达式为S=_____.

　　(3)总面积S有最大值还是最小值?这个最大值或最小值是多少?

　　(4)总面积S取最大值或最小值时，点C在AB的什么位置?

　　教师讲解：二次函数 进行配方为y= ，当a0时，抛物线开口向上，此时当x= 时， ;当a0时，抛物线开口向下，此时当x= 时， 。对于本题来说，自变量x的最值范围受实际条件的制约，应为02。此时y相应的就有最大值和最小值了。通过画出图像，可以清楚地看到y的最大值和最小值以及此时x的取值情况。在作图像时一定要准确认真，同时还要考虑到x的取值范围。

　　解答过程(板书)

　　解：(1)当BC=x时，AC=2-x(02)。

　　(2)S△CDE= ,S△BFG= ,

　　因此，S= + =2 -4x+4=2 +2，

　　画出函数S= +2(02)的图像，如图34-4-3。

　　(3)由图像可知：当x=1时， ;当x=0或x=2时， 。

　　(4)当x=1时，C点恰好在AB的中点上。

　　当x=0时，C点恰好在B处。

　　当x=2时，C点恰好在A处。

　　[教法]：在利用函数求极值问题，一定要考虑本题的实际意义，弄明白自变量的取值范围。在画图像时，在自变量允许取得范围内画。

　　练习：

　　如图，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上一点，QPAP，并且交DC与点Q。

　　(1)Rt△ABP与Rt△PCQ相似吗?为什么?

　　(2)当点P在什么位置时，Rt△ADQ的面积最小?最小面积是多少?

　　小结：利用二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，则可求某些实际问题中的极值，求极值时可把 配方为y= 的形式。

　　板书设计：

　　二次函数的应用(2)

　　活动1： 总结方法：

　　活动2： 练习：

　　小结：

　　第三课时：

　　我们这部分学习的是二次函数的应用，在解决实际问题时，常常需要把二次函数问题转化为方程的问题。

　　师：在日常生活中，有哪些量之间的关系是二次函数关系?大家观看下面的图片。

　　(幻灯片显示交通事故、紧急刹车)

　　师：你知道两辆车在行驶时为什么要保持一定的距离吗?

　　学生思考，讨论。

　　师：汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫做刹车距离。刹车距离是分析、处理道路交通事故的一个重要原因。

　　请看下面一个道路交通事故案例：

　　甲、乙两车在限速为40km/h的湿滑弯道上相向而行，待望见对方。同时刹车时已经晚了，两车还是相撞了。事后经现场勘查，测得甲车的刹车距离是12m，乙车的刹车距离超过10m，但小于12m。根据有关资料，在这样的湿滑路面上，甲车的刹车距离S甲(m)与车速x(km/h)之间的关系为S甲=0.1x+0.01x2，乙车的刹车距离S乙(m)与车速x(km/h)之间的关系为S乙= 。

　　教师提问：1.你知道甲车刹车前的行驶速度吗?甲车是否违章超速?

　　2.你知道乙车刹车前的行驶速度在什么范围内吗?乙车是否违章超速?

　　学生思考!教师引导。

　　对于二次函数S甲=0.1x+0.01x2：

　　(1)当S甲=12时，我们得到一元二次方程0.1x+0.01x2=12。请谈谈这个一元二次方程这个一元二次方程的实际意义。

　　(2)当S甲=11时，不经过计算，你能说明两车相撞的主要责任者是谁吗?

　　(3)由乙车的刹车距离比甲车的刹车距离短，就一定能说明事故责任者是甲车吗?为什么?

　　生甲：我们能知道甲车刹车前的行驶速度，知道甲车的刹车距离，又知道刹车距离与车速的关系式，所以车速很容易求出，求得x=30km，小于限速40km/h，故甲车没有违章超速。

　　生乙：同样，知道乙车刹车前的行驶速度，知道乙车的刹车距离的取值范围，又知道刹车距离与车速的关系式，求得x在40km/h与48km/h(不包含40km/h)之间。可见乙车违章超速了。

　　同学们，从这个事例当中我们可以体会到，如果二次函数y= (a0)的某一函数值y=M。就可利用一元二次方程 =M，确定它所对应得x值，这样，就把二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了。

　　下面看下面的这道例题：

　　当路况良好时，在干燥的路面上，汽车的刹车距离s与车速v之间的关系如下表所示：

　　v/(km/h) 40 60 80 100 120

　　s/m 2 4.2 7.2 11 15.6

　　(1)在平面直角坐标系中描出每对(v，s)所对应的点，并用光滑的曲线顺次连结各点。

　　(2)利用图像验证刹车距离s(m)与车速v(km/h)是否有如下关系：

　　(3)求当s=9m时的车速v。

　　学生思考，亲自动手，提高学生自主学习的能力。

　　教师提问，学生回答正确答案，教师再进行讲解。

　　课上练习：

　　某产品的成本是20元/件，在试销阶段，当产品的售价为x元/件时，日销量为(200-x)件。

　　(1)写出用售价x(元/件)表示每日的销售利润y(元)的表达式。

　　(2)当日销量利润是1500元时，产品的售价是多少?日销量是多少件?

　　(3)当售价定为多少时，日销量利润最大?最大日销量利润是多少?

　　课堂小结：本节课主要是利用函数求极值的问题，解决此类问题时，一定要考虑到本题的实际意义，弄明白自变量的取值范围。在画图像时，在自变量允许取的范围内画。

　　板书设计：

　　二次函数的应用(3)

　　一、案例 二、例题

　　分析： 练习：

　　总结：

　　数学网

《二次函数》教案3

　　教学设计

　　一 教学设计思路

　　通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系。然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系。最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。

　　二 教学目标

　　1 知识与技能

　　(1).经历探索函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.

　　(2).会利用图象法求一元二次方程的近似解。

　　2 过程与方法

　　经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

　　三 情感态度价值观

　　通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况培养学生自主探索意识，从中体会事物普遍联系的观点，进一步体会数形结合思想.

　　四 教学重点和难点

　　重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

　　难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

　　五 教学方法

　　讨论探索法

　　六 教学过程设计

　　(一)问题的提出与解决

　　问题 如图，以20m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系

　　h=20t5t2。

　　考虑以下问题

　　(1)球的飞行高度能否达到15m?如能，需要多少飞行时间?

　　(2)球的飞行高度能否达到20m?如能，需要多少飞行时间?

　　(3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?

　　(4)球从飞出到落地要用多少时间?

　　分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数

　　h=20t-5t2。

　　所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。

　　解：(1)解方程 15=20t5t2。 t24t+3=0。 t1=1,t2=3。

　　当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。

　　(2)解方程 20=20t-5t2。 t2-4t+4=0。 t1=t2=2。

　　当球飞行2s时，它的高度为20m。

　　(3)解方程 20.5=20t-5t2。 t2-4t+4.1=0。

　　因为(-4)2-44.10。所以方程无解。球的飞行高度达不到20.5m。

　　(4)解方程 0=20t-5t2。 t2-4t=0。 t1=0,t2=4。

　　当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出。4s时球落回地面。

　　由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系?

　　例如：已知二次函数y=-x2+4x的值为3。求自变量x的值。

　　分析 可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0) 。反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4+3的值为0，求自变量x的值。

　　一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0。

　　(二)问题的讨论

　　二次函数(1)y=x2+x-2;

　　(2) y=x2-6x+9;

　　(3) y=x2-x+0。

　　的图象如图26.2-2所示。

　　(1)以上二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，有多少个交点，公共点的横坐标是多少?

　　(2)当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗?

　　先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题。

　　可以看出：

　　(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1。当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1。

　　(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3。当x=3时，函数的值是0。由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3。

　　(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根。

　　总结：一般地，如果二次函数y= 的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程 =0的根。

　　(三)归纳

　　一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知，

　　(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。

　　(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

　　由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。

　　(四)例题

　　例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1)。

　　解：作y=x2-2x-2的图象(如图)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7。

　　所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1-0.7,x22.7。

　　七 小结

　　二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

　　。

　　八 板书设计

　　用函数观点看一元二次方程

　　抛物线y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0的解之间的关系

　　例题

《二次函数》教案4

　　教学目标：

　　利用数形结合的数学思想分析问题解决问题。

　　利用已有二次函数的知识经验，自主进行探究和合作学习，解决情境中的数学问题，初步形成数学建模能力，解决一些简单的实际问题。

　　在探索中体验数学来源于生活并运用于生活，感悟二次函数中数形结合的美，激发学生学习数学的兴趣，通过合作学习获得成功，树立自信心。

　　教学重点和难点：

　　运用数形结合的思想方法进行解二次函数，这是重点也是难点。

　　教学过程：

　　（一）引入：

　　分组复习旧知。

　　探索：从二次函数y=x2+4x+3在直角坐标系中的图象中，你能得到哪些信息？

　　可引导学生从几个方面进行讨论：

　　（1）如何画图

　　（2）顶点、图象与坐标轴的交点

　　（3）所形成的三角形以及四边形的面积

　　（4）对称轴

　　从上面的问题导入今天的课题二次函数中的图象与性质。

　　（二）新授：

　　1、再探索：二次函数y=x2+4x+3图象上找一点，使形成的图形面积与已知图形面积有数量关系。例如：抛物线y=x2+4x+3的顶点为点A，且与x轴交于点B、C；在抛物线上求一点E使SBCE= SABC。

　　再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点F，使BCE与BCD全等。

　　再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点M，使BOM与ABC相似。

　　2、让同学讨论：从已知条件如何求二次函数的解析式。

　　例如：已知一抛物线的顶点坐标是C（2，1）且与x轴交于点A、点B，已知SABC=3，求抛物线的解析式。

　　（三）提高练习

　　根据我们学校人人皆知的船模特色项目设计了这样一个情境：

　　让班级中的上科院小院士来简要介绍学校船模组的情况以及在绘制船模图纸时也常用到抛物线的知识的情况，再出题：船身的龙骨是近似抛物线型，船身的最大长度为48cm，且高度为12cm。求此船龙骨的抛物线的解析式。

　　让学生在练习中体会二次函数的图象与性质在解题中的作用。

　　（四）让学生讨论小结（略）

　　（五）作业布置

　　1、在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+（k—5）x—（k+4）的图象交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0）且（x1+1）（x2+1）=—8。

　　（1）求二次函数的解析式；

　　（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求 POC的面积。

　　2、如图，一个二次函数的图象与直线y= x—1的交点A、B分别在x、y轴上，点C在二次函数图象上，且CBAB，CB=AB，求这个二次函数的解析式。

　　3、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面1：11000的比例图上，跨度AB=5cm，拱高OC=0。9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图1，在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图2。

　　（1）求出图2上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

　　（2）如果DE与AB的距离OM=0。45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ，计算结果精确到1米）

《二次函数》教案5

　　二次函数的教学设计

　　教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第108页

　　教学目标：

　　1。 1。 理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；

　　2。 2。 通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；

　　3。 3。 通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。

　　教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。

　　教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。

　　教学过程设计：

　　一 创设情景、建模引入

　　我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：

　　1。写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式

　　答：S=πR2。 ①

　　2。写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系

　　答：S=L（30-L）=30L-L2 ②

　　分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？

　　S是否是R、L的一次函数？

　　由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？

　　答：二次函数。

　　这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）

　　二 归纳抽象、形成概念

　　一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) ，

　　那么，y叫做x的二次函数。

　　注意：(1)必须a≠0，否则就不是二次函数了。而b，c两数可以是零。(2) 由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数。

　　练习：1。举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。

　　2。出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。

　　（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；； 的形式。）

　　（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）

　　由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。

　　（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）

　　三 尝试模仿、巩固提高

　　让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究

　　1。 1。 尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？

　　请同学们画出函数y=x2的图象。

　　（学生分别画图，教师巡视了解情况。）

　　2。 2。 模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。

　　解：一、列表：

　　二、描点、连线： 按照表格，描出各点。然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来。

　　对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意。

　　练习：画出函数;的图象（请两个同学板演）

　　画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数 y=ax2的图象是一条抛物线。

　　（这里，教师在学生自己探索尝试的基础上，示范画图象的方法和过程，希望学生学会画图象的方法；并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识，通过观察，感悟抛物线名称的由来。）

　　三 运用新知、变式探究

　　画出函数 y=5x2图象

　　学生在画图象的过程当中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。

　　教师出示已画好的图象让学生观察

　　注意：1。 画图象应描7个左右的点，描的点越多图象越准确。

　　2。 自变量X的取值应注意关于Y轴对称。

　　3。 对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活，例如可以取分数。

　　四。 四。 归纳小结、延续探究

　　教师引导学生观察表格及图象，归纳y=ax2的性质，学生们畅所欲言，各抒己见；互相改进，互相完善。最终得到如下性质：

　　一般的，二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是Y轴，顶点是坐标原点；当a＞0时，图象的开口向上，最低点为(0，0)；当a＜0时，图象的开口向下，最高点为(0，0)。

　　五 回顾反思、总结收获

　　在这一环节中，教师请同学们回顾一节课的学习畅谈自己的收获或多、或少、或几点、或全面，总之是人人有所得，个个有提高。这也正是新课标中所倡导的新的理念——不同的人在数学上得到不同的发展。

　　（在整个一节课上，基本上是学生讲为主，教师讲为辅。一些较为困难的问题，我也鼓励学生大胆思考，积极尝试，不怕困难，一个人完不成，讲不透，第二个人、第三个人补充，直到完成整个例题。这样上课气氛非常活跃，学生之间常会因为某个观点的不同而争论，这就给教师提出了更高的要求，一方面要控制好整节课的节奏，另一方面又要察言观色，适时地对某些观点作出判断，或与学生一同讨论。）

《二次函数》教案6

　　目标：

　　1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。

　　2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

　　3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。

　　重点难点：

　　重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式是的重点。

　　难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。

　　教学过程：

　　一、创设问题情境

　　如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?

　　分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。

　　如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y＝ax2 (a＜0) (1)

　　因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝AB2 ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。

　　因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －0.8＝a×22 所以a＝－0.2

　　因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。

　　请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。

　　二、引申拓展

　　问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系?

　　让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。

　　问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?

　　分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。

　　二次函数的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定o、6、c，已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。

　　解：设所求的二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c。

　　因为OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m，

　　所以O点坐标为(2，0.8)，A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0)。

　　由已知，函数的图象过(0，0)，可得c＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)，可得到4a＋2b＝0.816＋4b＝0 解这个方程组，得a＝－15b＝45 所以，所求的二次函数的关系式为y＝－15x2＋45x。

　　问题3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同?

　　问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?

　　(第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易)

　　请同学们阅渎P18例7。

　　三、课堂练习： P18练习1．(1)、(3)2。

　　四、综合运用

　　例1．如图所示，求二次函数的关系式。

　　分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。

　　解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x＝3。因为对称轴是直线x＝3，所以B点坐标为(－2，0)。

　　设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到64a＋8b＝－44a－2b＝－4 解这个方程组，得a＝－14b＝32

　　所以，所求二次函数的关系式是y＝－14x2＋32x＋4

　　练习： 一条抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。

　　五、小结：

　　二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。

　　六、作业

　　1．P19习题 26．2 4．(1)、(3)、5。

　　2．选用课时作业优化设计，

《二次函数》教案7

　　一、教学目标：

　　1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．

　　2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．

　　3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

　　二、教学重点、难点：

　　教学重点：

　　1．体会方程与函数之间的联系。

　　2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

　　教学难点：

　　1．探索方程与函数之间关系的过程。

　　2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

　　三、教学方法：启发引导 合作交流

　　四：教具、学具：课件

　　五、教学媒体：计算机、实物投影。

　　六、教学过程：

　　检查预习 引出课题

　　预习作业：

　　1．解方程：（1）x2+x－2=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－x+1=0; (4) x2－2x－2=0.

　　2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x-4=0的解.

　　师生行为：教师展示预习作业的内容，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。

　　教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，2题的格式要规范。

　　设计意图：这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用,1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程的相关知识；2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。

《二次函数》教案8

　　本节课在二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的基础上，进一步研究y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并探索它们之间的关系和各自的性质.旨在全面掌握所有二次函数的图象和性质的变化情况.同时对二次函数的研究，经历了从简单到复杂，从特殊到一般的过程：先是从y=x2开始，然后是y=ax2，y=ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c.符合学生的认知特点，体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.

　　在教学中，主要是让学生自己动手画图象，通过自己的观察、交流、对比、概括和反思[

　　等探索活动，使学生达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.并能利用它的性质解决问题.

　　2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象(一)

　　教学目标

　　(一)教学知识点[

　　1.能够作出函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系.理解a，h，k对二次函数图象的影响.

　　2.能够正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

　　(二)能力训练要求

　　1.通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.

　　2.经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.

　　(三)情感与价值观要求

　　1.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

　　2.让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

　　教学重点

　　1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程.

　　2.能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的'图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响.

　　3.能够正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

　　教学难点

　　能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响.

　　教学方法

　　探索比较总结法.

　　教具准备

　　投影片四张

　　第一张：(记作2.4.1 A)

　　第二张：(记作2.4.1 B)

　　第三张：(记作2.4.1 C)

　　第四张：(记作2.4.1 D)

　　教学过程

　　Ⅰ.创设问题情境、引入新课

　　[师]我们已学习过两种类型的二次函数，即y=ax2与y=ax2+c，知道它们都是轴对称图形，对称轴都是y轴，有最大值或最小值.顶点都是原点.还知道y=ax2+c的图象是函数y=ax2的图象经过上下移动得到的，那么y=ax2的图象能否左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢?本节课我们就来研究有关问题.

　　Ⅱ.新课讲解

　　一、比较函数y=3x2与y=3(X-1)2的图象的性质.

　　投影片：(2.4 A)

　　(1)完成下表，并比较3x2和3(x-1)2的值，

　　它们之间有什么关系?

　　X -3 -2 -1 0 1 2 3 4

　　3x2

　　3(x-1)2

　　(2)在下图中作出二次函数y=3(x-1)2的图象.你是怎样作的?

　　(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

　　(4)x取哪些值时，函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时，函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而减小?

　　[师]请大家先自己填表，画图象，思考每一个问题，然后互相讨论，总结.

　　[生](1)第二行从左到右依次填：27.12，3，0，3， 12，27，48;第三行从左到右依次填48，27，12，3，0，3， 12，27.

　　(2)用描点法作出y=3(x-1)2的图象，如上图.

　　(3)二次函数)y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象形状相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同，y=3(x-1)2的图象的对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1，0).

　　(4)当x1时，函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大，x1时，y=3(x-1)2的值随x值的增大而减小.

　　[师]能否用移动的观点说明函数y=3x2与y=3(x-1)2的图象之间的关系呢?

　　[生]y=3(x-1)2的图象可以看成是函数)y=3x2的图象整体向右平移得到的.

　　[师]能像上节课那样比较它们图象的性质吗?

　　[生]相同点：

　　a.图象都中抛物线，且形状相同，开口方向相同.

　　b. 都是轴对称图形.

　　c.都有最小值，最小值都为0.

　　d.在对称轴左侧，y都随x的增大而减小.在对称轴右侧，y都随x的增大而增大.

　　不同点：

　　a.对称轴不同,y=3x2的对称轴是y轴y=3(x-1)2的对称轴是x=1.

　　b. 它们的位置不问.[来源:Www.zk5u.com]

　　c. 它们的顶点坐标不同. y=3x2的顶点坐标为(0，0),y=3(x-1)2的顶点坐标为(1，0)，

　　联系：

　　把函数y=3x2的图象向右移动一个单位，则得到函数y=3(x-1)2的图像.

　　二、做一做

　　投影片：(2.4.1 B)

　　在同一直角坐标系中作出函数y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.并比较它们图象的性质.

　　[生]图象如下

　　它们的图象的性质比较如下：

　　相同点：

　　a.图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同.

　　b. 都足轴对称图形，对称轴都为x=1.

　　c. 在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随x的增大而增大.

　　不同点：

　　a.它们的顶点不同，最值也不同.y=3(x-1)2的顶点坐标为(1.0)，最小值为0.y=3(x-1)2+2的顶点坐标为(1，2)，最小值为2.

　　b. 它们的位置不同.

　　联系：

　　把函数y=3(x-1)2的图象向上平移2个单位，就得到了函数y=3(x-1)2+2的图象.

　　三、总结函数y=3x2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的图象之间的关系.

　　[师]通过上画的讨论，大家能够总结出这三种函数图象之间的关系吗?

　　[生]可以.

　　二次函数y=3x2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的图象都是抛物线.并且形状相同，开口方向相同，只是位置不同，顶点不同，对称轴不同，将函数y=3x2的图象向右平移1个单位，就得到函数y=3(x-1)2的图象;再向上平移2个单位，就得到函数y=3(x-1)2+2的图象.

　　[师]大家还记得y=3x2与y=3x2-1的图象之间的关系吗?

　　[生]记得，把函数y=3x2向下平移1个平位，就得到函数y=3x2-1的图象.

　　[师]你能系统总结一下吗?

　　[生]将函数y=3x2的图象向下移动1个单位，就得到了函数y=3x2-1的图象，向上移动1个单位，就得到函数y=3x2+1的图象;将y=3x2的图象向右平移动1个单位，就得到函数y=3(x-1)2的图象：向左移动1个单位，就得到函数y=3(x+1)2的图象;由函数y=3x2向右平移1个单位、再向上平移2个单位，就得到函数y=3(x-1)2+2的图象.

　　[师]下面我们就一般形式来进行总结.

　　投影片：(2.4.1 C)

　　一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数为y=ax2+c，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的图象.

　　(1)将y=ax2的图象上下移动便可得到函数y=ax2+c的图象，当c0时，向上移动，当c0时，向下移动.

　　(2)将函数y=ax2的图象左右移动便可得到函数y=a(x-h)2的图象，当h0时，向右移动，当h0时，向左移动.

　　(3)将函数y=ax2的图象既上下移，又左右移，便可得到函数y=a(x-h)+k的图象.

　　因此，这些函数的图象都是一条抛物线，它们的开口方向，对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关.

　　下面大家经过讨论之后，填写下表：

　　y=a(x-h)2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标

　　a0

　　a0

　　四、议一议

　　投影片：(2，4.1 D)

　　(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

　　(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

　　(3)对于二次函数y=3(x+1)2，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?

　　[师]在不画图象的情况下，你能回答上面的问题吗?

　　[生](1)二次函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2的图象形状相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同，y=3(x+1)2的图象的对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1，0).只要将y=3x2的图象向左平移1个单位，就可以得到y=3(x+1)2的图象.

　　(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与y=-3x2的图象形状相同，只是位置不同，将函数y=-3x2的图象向右平移2个单位，就得到y=-3(x-2)2的图象，再向上平移4个单位，就得到y=-3(x-2)2+4的图象y=-3(x-2)2+4的图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2，4).

　　(3)对于二次函数y=3(x+1)2和y=3(x+1)2+4，它们的对称轴都是x=-1，当x-1时，y的值随x值的增大而减小;当x-1时，y的值随x值的增大而增大.

　　Ⅲ.课堂练习

　　随堂练习

　　Ⅳ.课时小结

　　本节课进一步探究了函数y=3x2与y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的图象有什么关系，对称轴和顶点坐标分别是什么这些问题.并作了归纳总结.还能利用这个结果对其他的函数图象进行讨论.

　　Ⅴ.课后作业

　　习题2.4

　　Ⅵ.活动与探究

　　二次函数y= (x+2)2-1与y= (x-1)2+2的图象是由函数y= x2的图象怎样移动得到的?它们之间是通过怎样移动得到的?

　　解：y= (x+2)2-1的图象是由y= x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的，y= (x-1)2+2的图象是由y= x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的.

　　y= (x+2)2-1的图象向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到y= (x-1)2+2的图象.

　　y= (x-1)2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到y= (x+2)2-1的图象.

　　板书设计

　　4.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图象(一) 一、1. 比较函数y=3x2与y=3(x-1)2的

　　图象和性质(投影片2.4.1 A)

　　2.做一做(投影片2.4.1 B)

　　3.总结函数y=3x2，y=3(x-1)2y= 3(x-1)2+2的图象之间的关系(投影片2.4.1 C)

　　4.议一议(投影片2.4.1 D)

　　二、课堂练习

　　1.随堂练习

　　2.补充练习

　　三、课时小结

　　四、课后作业

　　备课资料

　　参考练习

　　在同一直角坐标系内作出函数y=- x2,y=- x2-1,y=- (x+1)2-1的图象，并讨论它们的性质与位置关系.

　　解：图象略

　　它们都是抛物线，且开口方向都向下;对称轴分别为y轴y轴，直线x=-1;顶点坐标分别为(0，0)，(0，-1)，(-1，-1).

　　y=- x2的图象向下移动1个单位得到y=- x2-1 的图象;y=- x2的图象向左移动1个单位，向下移动1个单位，得到y=- (x+1)2-1的图象.

《二次函数》教案9

　　教学目标：

　　会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质，能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。

　　重点难点：

　　重点；用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。

　　难点：会运用二次函数知识解决有关综合问题。

　　教学过程：

　　一、例题精析，强化练习，剖析知识点

　　用待定系数法确定二次函数解析式．

　　例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。

　　（1）抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，1），（1，3），（－1，1）三点。

　　（2）抛物线顶点P（－1，－8），且过点A（0，－6）。

　　（3）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过（3，0），（2，－3）两点，并且以x＝1为对称轴。

　　（4）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－3/2x＋3的图象与x轴、y轴的交点；且过（1，1），求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a（x－h）2＋k的形式。

　　学生活动：学生小组讨论，题目中的四个小题应选择什么样的函数解析式？并让学生阐述解题方法。

　　教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式：（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）

　　（2）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）（3）两根式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）

　　当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。

　　当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a（x－h）2＋k形式。

　　当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a（x－x1）（x－x2）

　　强化练习：已知二次函数的图象过点A（1，0）和B（2，1），且与y轴交点纵坐标为m。

　　（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；

　　（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围。

　　二、知识点串联，综合应用

　　例：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（－1，0），且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交

《二次函数》教案10

　　教学目标

　　(一)教学知识点

　　1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.

　　2.进一步发展估算能力.

　　(二)能力训练要求

　　1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验.

　　2.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想.

　　(三)情感与价值观要求

　　通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力.

　　教学重点

　　1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

　　2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.

　　教学难点

　　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.

　　教学方法

　　学生合作交流学习法.

　　教具准备

　　投影片三张

　　第一张：(记作§2.8.2A)

　　第二张：(记作§2.8.2B)

　　第三张：(记作§2.8.2C)

　　教学过程

　　Ⅰ.创设问题情境，引入新课

　　[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y=0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根.

《二次函数》教案11

　　教学目标：

　　1、经历描点法画函数图像的过程；

　　2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；

　　3、掌握 型二次函数图像的特征；

　　4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。

　　教学重点：

　　型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳

　　教学难点：

　　选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。

　　教学设计：

　　一、回顾知识

　　前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？ 先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。）

　　引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即 入手。因此本节课要讨论二次函数 （ ）的图像。

　　板书课题：二次函数 （ ）图像

　　二、探索图像

　　1、 用描点法画出二次函数 和 图像

　　（1） 列表

　　引导学生观察上表，思考一下问题：

　　①无论x取何值，对于 来说，y的值有什么特征？对于 来说，又有什么特征？

　　②当x取 等互为相反数时，对应的y的值有什么特征？

　　（2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.

　　（3） 连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到 和 的图像。

　　2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数 和 的图像。

　　学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评）

　　3、二次函数 （ ）的图像

　　由上面的四个函数图像概括出：

　　（1） 二次函数的 图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，

　　（2） 这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。

　　（3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。

　　（4） 当 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x轴的上方(除顶点外)；当 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x轴的 下方(除顶点外)。

　　（最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆）

　　三、课堂练习

　　观察二次函数 和 的图像

　　(1) 填空：

　　抛物线

　　顶点坐标

　　对称轴

　　位 置

　　开口方向

　　(2)在同一坐标系内，抛物线 和抛物线 的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数 和 的图像怎样画更简便？

　　(抛物线 与抛物线 关于x轴对称，只要画出 与 中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画)

　　四、例题讲解

　　例题：已知二次函数 （ ）的图像经过点（-2，-3）。

　　（1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。

　　（2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。

　　练习：（1）课本第31页课内练习第2题。

　　(2) 已知抛物线y=ax2经过点a（-2，-8）。

　　（1）求此抛物线的函数解析式；

　　（2）判断点b（-1，- 4）是否在此抛物线上。

《二次函数》教案12

　　一.学习目标

　　1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。

　　2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。

　　二.知识导学

　　（一）情景导学

　　1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是 。

　　2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大?

　　设长方形的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y平方米，那么变量y与x之间的函数关系式为 .

　　3．要给边长为x米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y为多少元？

　　在这个问题中，地板的费用与 有关，为 元,踢脚线的费用与 有关，为 元；其他费用固定不变为 元，所以总费用y（元）与x（m）之间的函数关系式是 。

　　（二）归纳提高。

　　上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？

　　一般地，我们称 表示的函数为二次函数。其中 是自变量， 函数。

　　一般地，二次函数 中自变量x的取值范围是 ，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？

　　（三）典例分析

　　例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c的值.

　　(1) y＝1— (2)y＝x(x－5) (3)y＝ － x＋1 (4) y＝3x(2－x)＋ 3x2

　　(5)y＝ (6) y＝ (7)y＝ x4＋2x2－1 (8)y＝ax2＋bx＋c

　　例2．当k为何值时，函数 为二次函数？

　　例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

　　⑴正方体的表面积S（cm2）与棱长a（cm）之间的函数关系；

　　⑵圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

　　⑶某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；

　　⑷菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．

　　三.巩固拓展

　　1.已知函数 是二次函数，求m的值.

　　2. 已知二次函数 ，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．

　　3.一个长方形的长是宽的1.6倍，写出这个长方形的面积S与宽x之间函数关系式。

　　4.一个圆柱的高与底面直径相等，试写出它的表面积S与底面半径r之间的函数关系式

　　5.用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．

　　6. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m．

　　⑴求隧道截面的面积S（m2）关于上部半圆半径r（m）的函数关系式；

　　⑵求当上部半圆半径为2 m时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1 m2）

　　课堂练习:

　　1.判断下列函数是否是二次函数,若是,请指出它的二次项系数、一次项系数、常数项。

　　（1）y=2-3x2; (2)y=x2+2x3; (3)y= ; (4)y= .

　　2.写出多项式的对角线的条数d与边数n之间的函数关系式。

　　3.某产品年产量为30台，计划今后每年比上一年的产量增长x%，试写出两年后的产量y（台）与x的函数关系式。

　　4.圆柱的高h(cm)是常量，写出圆柱的体积v(cm3)与底面周长C(cm)之间的函数关系式。

　　课外作业：

　　A级：

　　1.下列函数：（1）y=3x2+ +1;(2)y= x2+5;(3)y=(x-3)2-x2;(4)y=1+x- ,属于二次函数的

　　是 (填序号).

　　2.函数y=(a-b)x2+ax+b是二次函数的条件为 .

　　3.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( )

　　A.圆的周长与圆的半径之间的关系; B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;

　　C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系;

　　D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系.

　　4.某超市1月份的营业额为200万元,2、3月份营业额的月平均增长率为x，求第一季度营业额y（万元）与x的函数关系式.

　　B级：

　　5、一块直角三角尺的形状与尺寸如图，若圆孔的半径为 ，三角尺的厚度为16，求这块三角尺的体积V与n的函数关系式.

　　6.某地区原有20个养殖场，平均每个养殖场养奶牛20xx头。后来由于市场原因，决定减少养殖场的数量，当养殖场每减少1个时，平均每个养殖场的奶牛数将增加300头。如果养殖场减少x个，求该地区奶牛总数y（头）与x（个）之间的函数关系式。

　　C级：

　　7.圆的半径为2cm，假设半径增加xcm 时，圆的面积增加到y(cm2).

　　(1)写出y与x之间的函数关系式；

　　（2）当圆的半径分别增加1cm、 时，圆的面积分别增加多少？

　　（3）当圆的面积为5πcm2时，其半径增加了多少?

　　8.已知y+2x2=kx(x-3)(k≠2).

　　(1)证明y是x的二次函数；

　　(2)当k=-2时，写出y与x的函数关系式。

《二次函数》教案13

　　〖大纲要求〗

　　1． 理解二次函数的概念；

　　2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；

　　3． 会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(ax＋m)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；

　　4． 会用待定系数法求二次函数的解析式；

　　5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系，数学教案－二次函数。

　　内容

　　（1）二次函数及其图象

　　如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0),那么，y叫做x的二次函数。

　　二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。

　　（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向

　　抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

　　20．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直，（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是（ ）

　　（A）2米 （B）3米 （C）4米 （D）5米

　　三．解答下列各题（21题6分，22----25每题4分，26-----28每题6分，共40分）

　　21．已知：直线ｙ＝ｘ＋ｋ过点A（4，－3）。（1）求ｋ的值；（2）判断点B（－2，－6）是否在这条直线上；（3）指出这条直线不过哪个象限。

　　22．已知抛物线经过A（0，3），B（4,6）两点，对称轴为ｘ＝，

　　（1） 求这条抛物线的解析式；

　　（2） 试证明这条抛物线与X轴的两个交点中，必有一点C，使得对于ｘ轴上任意一点D都有AC＋BC≤AD＋BD。

　　23．已知：金属棒的长1是温度ｔ的一次函数，现有一根金属棒，在O℃时长度为200ｃｍ，温度提高1℃，它就伸长0.002ｃｍ。

　　（1） 求这根金属棒长度ｌ与温度ｔ的函数关系式；

　　（2） 当温度为100℃时，求这根金属棒的长度；

　　（3） 当这根金属棒加热后长度伸长到201.6ｃｍ时，求这时金属棒的温度。

　　24．已知ｘ1，ｘ2，是关于ｘ的方程ｘ2－3ｘ＋ｍ＝0的两个不同的实数根，设ｓ＝ｘ12＋ｘ22

　　（1） 求S关于ｍ的解析式；并求ｍ的取值范围；

　　（2） 当函数值ｓ＝7时，求ｘ13＋8ｘ2的值；

　　25．已知抛物线ｙ＝ｘ2－（ａ＋2）ｘ＋9顶点在坐标轴上，求ａ的值。

　　２６、如图，在直角梯形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｄ＝Ｒｔ∠，截取ＡＥ＝ＢＦ＝ＤＧ＝ｘ，已知ＡＢ＝６，ＣＤ＝３，ＡＤ＝４，求：

　　（１） 四边形ＣＧＥＦ的面积Ｓ关于ｘ的函数表达式和Ｘ的取值范围；

　　（２） 当ｘ为何值时，Ｓ的数值是ｘ的４倍。

　　２７、国家对某种产品的税收标准原定每销售１００元需缴税８元（即税率为８％），台洲经济开发区某工厂计划销售这种产品ｍ吨，每吨２０００元。国家为了减轻工人负担，将税收调整为每１００元缴税（８－ｘ）元（即税率为（８－ｘ）％），这样工厂扩大了生产，实际销售比原计划增加２ｘ％。

　　（１） 写出调整后税款ｙ（元）与ｘ的函数关系式，指出ｘ的取值范围；

　　（２） 要使调整后税款等于原计划税款（销售ｍ吨，税率为８％）的７８％，求ｘ的值．

　　２８、已知抛物线ｙ＝ｘ２＋（２－ｍ）ｘ－２ｍ（ｍ≠２）与ｙ轴的交点为Ａ，与ｘ轴的交点为Ｂ，Ｃ（Ｂ点在Ｃ点左边）

　　（１） 写出Ａ，Ｂ，Ｃ三点的坐标；

　　（２） 设ｍ＝ａ２－２ａ＋４试问是否存在实数ａ，使△ＡＢＣ为Ｒｔ△？若存在，求出ａ的值，若不存在，请说明理由；

　　（３） 设ｍ＝ａ２－２ａ＋４，当∠ＢＡＣ最大时，求实数ａ的值。

　　习题2:

　　一．填空（20分）

　　1．二次函数=2（x - ）2 +1图象的对称轴是 。

　　2．函数y= 的自变量的取值范围是 。

　　3．若一次函数y=（m-3）x+m+1的图象过一、二、四象限，则的取值范围是 。

　　4．已知关于的二次函数图象顶点（1，-1），且图象过点（0，-3），则这个二次函数解析式为 。

　　5．若y与x2成反比例，位于第四象限的一点P（a，b）在这个函数图象上，且a,b是方程x2-x -12=0的两根，则这个函数的关系式 。

　　6．已知点P（1，a）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，其中a=m2+2m+3（m为实数），则这个函数图象在第 象限。

　　7． x,y满足等式x= ，把y写成x的函数 ，其中自变量x的取值范围是 。

　　8．二次函数y=ax2+bx+c+（a 0）的图象如图，则点P（2a-3，b+2）

　　在坐标系中位于第 象限

　　9．二次函数y=（x-1）2+（x-3）2，当x= 时，达到最小值 。

　　10．抛物线y=x2-（2m-1）x- 6m与x轴交于（x1，0）和（x2，0）两点，已知x1x2=x1+x2+49，要使抛物线经过原点，应将它向右平移 个单位。

　　二．选择题（30分）

　　11．抛物线y=x2+6x+8与y轴交点坐标（ ）

　　（A）（0，8） （B）（0，-8） （C）（0，6） （D）（-2，0）（-4，0）

　　12．抛物线y=- （x+1）2+3的顶点坐标（ ）

　　（A）（1，3） （B）（1，-3） （C）（-1，-3） （D）（-1，3）

　　13．如图，如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限，那么函数y=kx2+bx-1的图象大致是（ ）

　　14．函数y= 的自变量x的取值范围是（ ）

　　（A）x 2 （B）x<2 x="">- 2且x 1 （D）x 2且x –1

　　15．把抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）

　　（A）=3（x+3）2 -2 （B）=3（x+2）2+2 （C）=3（x-3）2 -2 （D）=3（x-3）2+2

　　16．已知抛物线=x2+2mx+m -7与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则关于x的方程 x2+（m+1）x+m2+5=0的根的情况是（ ）

　　（A）有两个正根 （B）有两个负数根 （C）有一正根和一个负根 （D）无实根

　　17．函数y=- x的图象与图象y=x+1的交点在（ ）

　　（A） 第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

　　18．如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象，如图，

　　则代数式b+c-a与0的关系（ ）

　　（A）b+c-a=0 （B）b+c-a>0 （C）b+c-a<0 （D）不能确定

　　19．已知：二直线y=- x +6和y=x - 2，它们与y轴所围成的三角形的面积为（ ）

　　（A）6 （B）10 （C）20 （D）12

　　20．某学生从家里去学校，开始时匀速跑步前进，跑累了后，再匀速步行余下的路程，初中数学教案《数学教案－二次函数》。下图所示图中，横轴表示该生从家里出发的时间t，纵轴表示离学校的路程s，则路程s与时间t之间的函数关系的图象大致是（ ）

　　三．解答题（21~23每题5分，24~28每题7分，共50分）

　　21．已知抛物线y=ax2+bx+c（a 0）与x轴的两交点的横坐标分别是-1和3，与y轴交点的纵坐标是- ；

　　（1）确定抛物线的解析式；

　　（2）用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标。

　　22、如图抛物线与直线 都经过坐标轴的正半轴上A，B两点，该抛物线的对称轴x=—1，与x轴交于点C,且∠ABC=90°求：

　　(1)直线AB的解析式；

　　(2)抛物线的解析式。

　　23、某商场销售一批名脾衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件衬衫降价1元， 商场平均每天可多售出2件：

　　(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫要降价多少元，

　　(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?

　　24、已知：二次函数 和 的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求a、b的值。

　　25、如图，已知⊿ABC是边长为4的正三角形，AB在x轴上，点C在第一象限，AC与y轴交于点D，点A的坐标为{—1，0)，求

　　(1)B，C，D三点的坐标；

　　(2)抛物线 经过B，C，D三点，求它的解析式；

　　(3)过点D作DE∥AB交过B，C，D三点的抛物线于E，求DE的长。

　　26 某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超100度

　　时，按每度0．57元计费：每月用电超过100度时．其中的100度仍按原标准收费，超过部分按每度0．50元计费。

　　(1)设月用电x度时，应交电费y元，当x≤100和x>100时，分别写出y关于x的函数

　　关系式；

　　(1)求证；不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A(2，0)；

　　(2)设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式；

　　(3)设d=10，P(a，b)为抛物线上一点：

　　①当⊿AＢＰ是直角三角形时，求b的值；

　　②当⊿ABＰ是锐角三角形，钝角三角形时，分别写出b的取值范围(第2题不要求写出过程)

　　28、已知二次函数的图象 与x轴的交点为A，B(点Ｂ在点A的右边)，与y轴的交点为C；

　　(1)若⊿ABC为Rt⊿，求m的值；

　　(1)在⊿ABC中，若AC=ＢＣ，求sin∠ACB的值；

　　(3)设⊿ABC的面积为S，求当m为何值时，s有最小值．并求这个最小值。

《二次函数》教案14

　　一、教材分析

　　1．教材的地位和作用

　　（1）函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一，二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。在历届佛山市中考试题中，二次函数都是必不可少的内容。

　　（2）二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。

　　（3）二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会贯通。

　　2．课标要求：

　　①通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

　　②会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。

　　③会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导）。

　　④会根据二次函数的性质解决简单的实际问题。

　　3．学情分析：

　　（1）初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识。

　　（2）学生的分析、理解能力较学习新课时有明显提高。

　　（3）学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力。

　　（4）学生能力差异较大，两极分化明显。

　　4．教学目标

　　◆认知目标

　　(1)掌握二次函数 y=图像与系数符号之间的关系。通过复习，掌握各类形式的二次函数解析式求解方法和思路，能够一题多解，发散提高学生的创造思维能力。

　　◆能力目标

　　提高学生对知识的整合能力和分析能力。

　　◆ 情感目标

　　制作动画增加直观效果，激发学生兴趣，感受数学之美。在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会感受探索与创造，体验成功的喜悦。

　　5．教学重点与难点：

　　重点：(１)掌握二次函数y=图像与系数符号之间的关系。

　　(２) 各类形式的二次函数解析式的求解方法和思路。

　　（３）本节课主要目的，对历届中考题中的二次函数题目进行类比分析，达到融会贯通的作用。

　　难点：(1)已知二次函数的解析式说出函数性质

　　(2)运用数形结合思想,选用恰当的数学关系式解决几何问题.

　　二、教学方法：

　　1. 运用多媒体进行辅助教学，既直观、生动地反映图形变换，增强教学的条理性和形象性，又丰富了课堂的内容，有利于突出重点、分散难点，更好地提高课堂效率。

　　2．将知识点分类，让学生通过这个框架结构很容易看出不同解析式表示的二次函数的内在联系，让学生形成一个清晰、系统、完整的知识网络。

　　3．师生互动探究式教学，以课标为依据，渗透新的教育理念，遵循教师为主导、学生为主体的原则，结合初三学生的求知心理和已有的认知水平开展教学．形成学生自动、生生助动、师生互动，教师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高、思维的训练。同时考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节中进行分层施教，让每一个学生都能获得知识，能力得到提高。

　　三、学法指导：

　　1．学法引导

　　“授人之鱼，不如授人之渔”在教学过程中，不但要传授学生基本知识，还要培育学生主动思考，亲自动手，自我发现等能力，增强学生的综合素质，从而达到教学终极目标。

　　2．学法分析：新课标明确提出要培养“可持续发展的学生”，因此教师有组织、有目的、有针对性的引导学生并参入到学习活动中，鼓励学生采用自主学习，合作交流的研讨式学习方式，培养学生“动手”、“动脑”、“动口”的习惯与能力，使学生真正成为学习的主人。

　　3、设计理念：《课标》要求，对于课程实施和教学过程，教师在教学过程中应与学生积极互动、共同发展，要处理好传授知识与培养能力的关系，关注个体差异，满足不同学生的学习需要．”

　　4、设计思路：不把复习课简单地看作知识点的复习和习题的训练，而是通过复习旧知识，拓展学生思维，提高学生学习能力，增强学生分析问题，解决问题的能力。

　　四、教学过程：

　　1、教学环节设计：

　　根据教材的结构特点，紧紧抓住新旧知识的内在联系，运用类比、联想、转化的思想，突破难点．

　　本节课的教学设计环节：

　　◆创设情境，引入新知 ：复习旧知识的目的是对学生新课应具备的“认知前提能力”和“情感前提特征进行检测判断”。学生自主完成，不仅体现学生的自主学习意识，调动学生学习积极性，也能为课堂教学扫清障碍。为了更好地理解、掌握二次函数图像与系数之间的关系，根据不同学生的学习需要，按照分层递进的教学原则，设计安排了6个由浅入深的题型，让每一个学生都能为下一步的探究做好准备。

　　◆自主探究，合作交流：本环节通过开放性题的设置，发散学生思维，学生对二次函数的性质作出全面分析。让学生在教师的引导下，独立思考，相互交流，培养学生自主探索，合作探究的能力。通过学生观察、思考、交流，经历发现过程，加深对重点知识的理解。

　　◆运用知识，体验成功：根据不同层次的学生，同时配有两个由低到高、层次不同的巩固性习题，体现渐进性原则，希望学生能将知识转化为技能。让每一个学生获得成功，感受成功的喜悦。

　　安排三个层次的练习。

　　(一)从定义出发的简单题目。

　　(二)典型例题分析，通过反馈使学生掌握重点内容。

　　(三)综合应用能力提高。

　　既培养学生运用知识的能力，又培养学生的创新意识。引导学生对学习内容进行梳理，将知识系统化，条理化，网络化，对在获取新知识中体现出来的数学思想、方法、策略进行反思，从而加深对知识的理解。并增强学生分析问题，运用知识的能力。

　　(四)方法与小结

　　由总结、归纳、反思，加深对知识的理解，并且能熟练运用所学知识解决问题。

　　2、作业设计：(见课件)

　　3、板书设计：(见课件)

　　五、评价分析：

　　本节课的设计，我以学生活动为主线，通过“观察、分析、探索、交流”等过程，让学生在复习中温故而知新，在应用中获得发展，从而使知识转化为能力。本节教学过程主要由创设情境，引入新知――合作交流；探究新知――运用知识，体验成功；知识深化――应用提高；归纳小结――形成结构等环节构成，环环相扣，紧密联系，体现了让学生成为行为主体即“动手实践、自主探索、合作交流“的《数学新课标》要求。本设计同时还注重发挥多媒体的辅助作用，使学生更好地理解数学知识；贯穿整个课堂教学的活动设计，让学生在活动、合作、开放、探究、交流中，愉悦地参与数学活动的数学教学。

《二次函数》教案15

　　一、由实际问题探索二次函数

　　某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.

　　(1) 问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些因变量

　　(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?

　　(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.

　　果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子，因此果园橙子的总产 量

　　y=(100+z)(6005x)=-5x2+100x+ 60000.

　　二、想一想

　　在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多?

　　我们可以列表 表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况.你能根据 表格中的数据作出猜测吗 ?自己试一试.

　　x/棵

　　y/个

　　三.做一做

　　银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。也就是说，利率是一个变量.在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利 息自动按一年定期储蓄转存. 如 果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表 达式(不考虑利息税).

　　四、二次函数的定义

　　一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)

　　注意：定义中只要求二次项系数不为零，一次项系数、常数项可以为 零。

　　例如，y=一5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100都是二次函数.我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系A=a2， 圆面积s与半径r的 关系s=Try2等也都是二次函数的例子.

　　随堂练习

　　1.下列函数中(x,t是自变量)，哪些是二次 函数?

　　y=- +3x.y= x-x+25,y=2 + 2x,s=1+t+5t

　　2.圆的半径是l㎝，假设半径增加x㎝时，圆的面积增加y㎝.

　　(1)写出y与x之间的关系表达式;

　　(2)当圆的半径分别增加lcm、 ㎝、2㎝时，圆的面积增加多少?

　　五、课时小结

　　1. 经历探索和表 示二次函数关系的过程，猜想并归纳二次函数的定义及一般形式。

　　2.用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多。

　　六、活动与探究

　　若 是二次函数，求m的值.

　　七、作业

　　 习题2.1

　　1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系是：h=4.9t ， 填 表表示物体在前5s下落的高度：

　　t/s 1 2 3 4 5

　　h/m

　　⒉某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m。

　　(1)长方体的长和宽用x(m)表示，长方体需要涂漆的表面积S(㎡)如何表示?

　　(2) 如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需要费用用y(元)表示，那么y的表达式是什么?