方程的根与函数的零点教案

方程的根与函数的零点教案

　　本文题目：高一数学教案：方程的根与函数的零点教案

　　学习目标

　　1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系;

　　2. 掌握零点存在的判定定理.

　　学习过程

　　一、课前准备

　　(预习教材P86~ P88，找出疑惑之处)

　　复习1：一元二次方程 +bx+c=0 (a 0)的解法.

　　判别式 = .

　　当 0，方程有两根，为 ;

　　当 0，方程有一根，为 ;

　　当 0，方程无实根.

　　复习2：方程 +bx+c=0 (a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c (a 0)的图象之间有什么关系?

　　判别式 一元二次方程 二次函数图象

　　二、新课导学

　　※ 学习探究

　　探究任务一：函数零点与方程的根的关系

　　问题：

　　① 方程 的解为 ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为 .

　　② 方程 的.解为 ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为 .

　　③ 方程 的解为 ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为 .

　　根据以上结论，可以得到：

　　一元二次方程 的根就是相应二次函数 的图象与x轴交点的 .

　　你能将结论进一步推广到 吗?

　　新知：对于函数 ，我们把使 的实数x叫做函数 的零点(zero point).

　　反思：

　　函数 的零点、方程 的实数根、函数 的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系?

　　试试：

　　(1)函数 的零点为 ; (2)函数 的零点为 .

　　小结：方程 有实数根 函数 的图象与x轴有交点 函数 有零点.

　　探究任务二：零点存在性定理

　　问题：

　　① 作出 的图象，求 的值，观察 和 的符号

　　② 观察下面函数 的图象，

　　在区间 上 零点; 0;

　　在区间 上 零点; 0;

　　在区间 上 零点; 0.

　　新知：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个c也就是方程 的根.

　　讨论：零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析.

　　※ 典型例题

　　例1求函数 的零点的个数.

　　变式：求函数 的零点所在区间.

　　小结：函数零点的求法.

　　① 代数法：求方程 的实数根;

　　② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

　　※ 动手试试

　　练1. 求下列函数的零点：

　　(1) ;

　　(2) .

　　练2. 求函数 的零点所在的大致区间.

　　三、总结提升

　　※ 学习小结

　　①零点概念;②零点、与x轴交点、方程的根的关系;③零点存在性定理

　　※ 知识拓展

　　图象连续的函数的零点的性质：

　　(1)函数的图象是连续的，当它通过零点时(非偶次零点)，函数值变号.

　　推论：函数在区间 上的图象是连续的，且 ，那么函数 在区间 上至少有一个零点.

　　(2)相邻两个零点之间的函数值保持同号.

　　学习评价

　　※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

　　A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

　　※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

　　1. 函数 的零点个数为( ).

　　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

　　2.若函数 在 上连续，且有 .则函数 在 上( ).

　　A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点

　　C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定

　　3. 函数 的零点所在区间为( ).

　　A. B. C. D.

　　4. 函数 的零点为 .

　　5. 若函数 为定义域是R的奇函数，且 在 上有一个零点.则 的零点个数为 .

　　课后作业

　　1. 求函数 的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.

　　2. 已知函数 .

　　(1) 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点;

　　(2)若函数至少有一个零点在原点右侧，求 值.