二次函数及其图象和性质(学案)

二次函数及其图象和性质(学案)

　　学习内容：

　　1、二次函数的概念；

　　2、二次函数的图象；

　　3、二次函数的性质。

　　学习要求：

　　1、理解二次函数的概念，会用描点法画出二次函数的图象，理解二次函数与抛物线的有关概念

　　2、通过二次函数的图象，理解并掌握二次函数的性质，会判断二次函数的开口方向；会求顶点坐标，

　　会判顶点坐标，对称轴方程；会判断并求出最大值或最小值；会判断增减性，等等。

　　3、由图象能确定a、b、c、△的符号，及判定。

　　学习重点：

　　二次函数的图象和性质及运用。

　　学习难点：

　　二次函数的图象的画法以及理解y=a（x—h）2+h型抛物线是由抛物线y=ax2平移而得到的。

　　例题分析

　　第一阶梯

　　例1、在同一坐标系中画出下列二次函数的图象。

　　1、 2、y=3x2

　　3、 4、y=－3x2

　　提示：

　　以上四个二次函数我们在列表时首先在所列的表正中位置选择点（0，0），然后再在两边找对应的

　　点，画好图象后就能发现首先确定点（0，0）的重要性。

　　参考答案：

　　观察图象我们应掌握以下几点。

　　二次函数的图象是一条抛物线。

　　1、抛物线当a>0时，向上无限延伸，同时a>0，抛物线开口向上抛物线当a<0时，向上无限延伸，同时当a<0时，抛物线开口向下。

　　2、抛物线以y轴为对称轴，由于y轴上的点的横坐标为零，我们也说对称轴方程为x=0。

　　3、抛物线的顶点是这样定义：抛物线与对称轴交点叫抛物线的顶点。所以抛物线y=ax2（a≠0）的顶点坐标为（0，0）。这就是我们在画图象时首先确定点（0，0）的理由，再根据抛物线关于y轴对称，我们在确定其它点时，也选对称的点，这样既能减少运算量，又能使图象画的优美、准确。

　　4、二次函数的最大、最小值。

　　①当a>0时，抛物线开口向上，它有最底点，所以存在最小值。这个最小值就是当x取顶点横坐标，顶点纵坐标的值就是二次函数的最小值。

　　②当a<0时，抛物线开口向下，它有最高点，所以存在最大值。这个最大值就是当x取顶点横坐标，顶点纵坐标的值就是二次函数的最大值。

　　5、二次函数的'增、减性。

　　①当a>0时，在对称轴左侧，y随x增大而减小；在对称轴右侧，y随x增大而增大。

　　②当a<0时，在对称轴左侧，y随x增大而增大；在对称轴右侧，y随x增大而减小。

　　例2、在同一坐标系下画出二次函数y=x2和的图象，寻求两条抛物线的联系并探索抛物线与抛物线的联系。

　　参考答案：

　　一般情况下由于（可转化为的图象可由函数y=x2的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位得到。

　　例3、画抛物线的图象。

　　提示：为了能更好的画出图象，我们对原关系式进行配方变形，即：

　　参考答案：

　　第二阶梯

　　例1、分别指出下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标，对称轴方程、最大或最小值。

　　提示：

　　每一个二次函数都可利用配方法将其转化成的形式，在这种形式下比较容易解决上述问题，也可根据对二次函数一般式的研究结果直接得出结论。

　　参考答案：

　　又∵二次项系数为—2<0

　　∴抛物线开口向下，y有最大值－3

　　顶点坐标（－1，－3），对称轴方程x=－1

　　说明：

　　通过二次函数的系数得到二次函数图象的性质指导人们正确的作出函数图象，体现数形结合的思想

　　方法。

　　例2、已知抛物线经过三点a（－1，0），b（6，0），c（0，－6），求二次函数的解析式。

　　参考答案：

　　解1：设所求二次函数的解析式为：

　　由已知有：

　　解得：a=1，b=－5，c=－6

　　即所求二次函数的解析式为

　　解2：由已知设所求二次函数解析式为：

　　∵函数图象经过c（0，－6）点

　　∴－6=a（0+1）（0－6）

　　解得：a=1

　　∴所求函数解析式为

　　即：

　　例3、已知抛物线经过a（0，－1）点，且其顶点坐标为（－1，2），求二次函数的解析式。

　　提示：

　　若利用二次函数的一般式，需布列关于a、b、c的三个方程，由于顶点是很特殊的点，利用它可得到两个方程①和②，再由已知可得第三个方程c=－1，通过解方程组可以求出解析式。但如果我们把①，②整体代入有：，问题就简便多了。一般情况下，若已知抛物线顶点为（m，n），可将解析式设为。

　　参考答案：

　　说明：

　　当已知函数解析式形式时，先设出所求的解析式，再根据已知条件布列方程，通过解方程得到待定的系数，这种方法叫待定系数法，一般情况下解决同一个求解析式问题，待定系数越少，解题过程越简单。另外根据已知条件布列方程（或方程组）和解方程（或方程组）是学好数学的基础，必须熟练掌握。

　　练习题

　　1、函数中，自变量x的取值范围是（）

　　（a）

　　（b）

　　（c）

　　（d）

　　2、二次函数的顶点关于原点对称点的坐标是（）

　　（a）

　　（b）

　　（c）

　　（d）

　　3、函数中，自变量x的取值范围是_______。

　　4、函数中y的最小值是_______。

　　5、已知二次函数的图象经过a（－3，0）、b（2，0）和c（－2，－4）三点求二次函数的解析式。

　　6、已知二次函数的图象经过a（－1，2）、b（3，2）和c（1，0）三点，求二次函数的解析式。

　　7、在△abc中，ab=ac=3，，e是bc边上的点，ep⊥ab于p，ef∥ab交ac于f，设bp=x，

　　梯形apef的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

　　参考答案：

　　1、c

　　2、d

　　3、全体实数

　　4、0

　　5、答案：

　　6、提示1：用一般式解方程

　　提示2：由于a（－1，2）和b（3，2）关于直线x=1对称，故x=1是抛物线对称轴，又过c（1，0），

　　故c为抛物线顶点可设抛物线方程为，最终求出解析式为