数学有效教学与反思性学习的刍议

数学有效教学与反思性学习的刍议

　　【前言】：学习的本质体现在中国古代的象形文字中。“学”的下半部分表示一个小孩站在门口观察外面世界的变化，上半部分则表示，知识和感悟不断地积累起来；“习”所画的是一只小鸟在不断地练习飞行，意指不断地练习。所以，“学习”的原始意义就是，为适应外界和未来的生活，不断地练习，积累生存本领。从这里我们知道，“学习”是一个大概念，它不等同于坐在教室中听老师讲课，不等同于看书。

　　在今天这个信息时代，可学的东西实在太多了。现在的孩子已经不只是“十五向学”了，很多比五岁还要早就开始学习了。但是都学了什么呢？不少孩子会背圆周率，能够背到小数点后很多很多位；有的孩子能够背长长的古诗，成为在客人面前表演的节目。但是这些对他这一生真的有用吗？

　　孔子说，“学而不思则罔，思而不学则怠”（《论语·为政》），一定要一边学，一边想，一边应用。他所提倡的是这样一种从容地把有限的知识放大到极限的学习方式。反思性学习以"学会学习"为目的，既关注学习的直接结果又关注间接结果，即学生眼前的学习成绩和学生自身未来的发展。反思性学习不仅要完成学习的任务，而且使学生的理性思维得到发展。

　　灵感来源于公开课前的准备阶段

　　因为我在教学中经常尝试一些能体现学生自主能动性的教学方式，在一堂用“换位法”上“二次函数在生活中的应用”的公开课的准备阶段，让学生自己申请当“老师”，话音刚落，就有不少同学举手要求当“老师”，我让他们写出各自的教案。等到教案交上来时却只有四份。我认真阅读了他们交上来的教案，发现他们把二次函数在生活中的应用分为最大利润问题、最大面积问题、船过桥拱、汽车过隧道问题、球类喷水问题四大块，并都配备了相应的例题。学生的这一“创举”超出我的预料。我为之高兴，他们备课的过程，也是他们自主学习的过程。为了把课讲好，他们翻阅大量参考资料，提出讲课中所碰到的难题，进行充分备课。因而就带动了学习的积极性，促进了学生各能力方面的发展。事实证明参与准备和上课的这些同学再碰到有关二次函数在生活中的应用的题时，各个所向披靡。

　　从中我深深地感到：如果能让学生对原有学习内容、学习方法和学习活动历程等不断回望，及时修正学习策略，学生在学习中反思，在反思中学习，充分调动他们的主动性，自觉性、自主性，最终使学生学会学习，促进有效教学。

　　数学教育家威费登塔尔提出：“数学教学方法的核心是学生再创造，而只有以反思的数学教育才能使学生实现再创造。”在实施新课程的今天，当我们以创造性意识和解决新问题的能力，作为衡量和评价学生数学学习成绩优劣的主要标准时，更应该重视引导和激励学生在数学学习活动中进行反思性学习。

　　反思性学习的意义

　　1．培养学生知识迁移的能力。反思性学习有利于学生找出一个知识点、一节课、一个学习阶段的或其他方面的得与失。通过反思性学习学生能用自己的话去解释、表达所学的知识；能基于这一知识作出推论和预测，从而解释相关的现象，解决有关的问题；能运用这一知识解决变式问题；能综合几方面的相关知识解决比较复杂的问题；能将所学的到实际问题中去，学会学习。

　　2．增强学生思维的深刻性。反思性学习不仅仅是对数学学习一般性的回顾或重复，而是不断发现问题，提出问题，解决问题，找出思考过程中的优点和缺点，寻找发挥自己的长处，弥补自己不足的策略的过程。在这个过程中学生补充和完善了自己的知识结构，唤起思维，激发探究、发现、再创新的欲望，获得了解决问题的策略，培养了学生思维的批判性和深刻性。使学生实现由学习者到“研究者”的转变。

　　3．磨砺学生的创新能力。通过反思性学习，可以深化对问题的理解，优化思维过程，揭示问题本质，探索一般规律,获得的不只是一个问题的解决办法,而是一组问题、一类问题的解决办法。沟通知识间的相互联系，从而促进知识的同化和迁移，产生新的发现，带动学生积极、主动、探究性地投入到数学活动中，增强学生数学思维的灵敏性，提高学生的创新能力。

　　贯彻反思性学习的有效途径

　　1．于课堂教学中培养学生反思性学习的能力：

　　（1）于新课引入。先前的见解经验就是学生反思的起点。在数学课堂教学中，教师应创造合适的条件在引入新课时，通过适当的启发点拨，加强新知与旧知的联系，组织学生进行有效的反思，使学生学会反思,提高教学的有效性。例如在引入华师大八下《探索三角形全等条件》时创设一个引例老师在备课纸上画了两个三角形准备上课，一不小心把墨水弄洒涂抹了这两个三角形，你能把这两个三角形还原吗？自然引出判断三角形全等的思考？这一问题具有挑战性，需要学生认真调动和组织原有的知识和经验才能进一步探究。这时引导学生反思：“课题与以前学过的哪些知识有联系？

　　（2）于探究过程中。学习新知中反思指向于当前学习，是对学习过程本身的反思，包括知识的形成过程、学习方法、操作程序以及获得的结论等。例如在出示分式的加减课题后，教师可引导学生反思：根据分式的乘除是类比分数的乘除，那么分式的加减能否也类比分数的加减来运算？然后出示例子下列题目你一定会计算，虽然没有学习分式的加减运算但通过类比分数的加减运算，收到事半功倍的效果。若每次都能让学生先反思再学习,可以产生主动探索学习的愿望，由被动的等待学习转为主动的参与，提高了教学的有效性。

　　另外当学生经历、体验了不同的探索方案后，再引导学生反思：从刚才的探究中，你又发现了什么？你是怎么推导出来的？这种思考方法对自己今后学习有什么启发？也就是解决问题后,要善于把它改头换面变成为多个和原问题内容形式不同或类似但解决问题的方法类似或不同的问题,即进行一题多解、多题一解的训练,这样可以扩大视野,深化知识,从而提高学习的能力。

　　（3）于巩固新知识中。数学教育家波利亚也说，“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面。”学习新知后，应重视知识的概括和提炼，让学生在练习中反思，在反思后再练习。反思探究知识的纵横联系，检查自我数学认知结构，从而达到优化认知结构。反思解决问题有关的合理的知识结构，总结探求各知识点的内在联系（纵向联系，横向联系）。这样的反思既有利于学生学习新知识，又有利于学生形成良好的知识结构。例如浙教版?/SPAN5.1同底数幂的乘法法则讲完后，补充例题

　　判一判：下面的计算对不对，如果不对，怎样改正？

　　并在练习后引导学生反思“以后我怎样避免再出现类似的错误？通过这次纠错，我有什么收获？”学生通过反思得出：

　　①同底数幂相乘时，指数是相加的

　　②注意与+的区别

　　③不能忽视指数为1的情况。

　　学生在巩固练习的反思过程中取其精华弃其糟粕，发展了思维，使所学知识更加深刻，更加系统化，提高了教学的有效性。

　　培养学生在课堂中养成自我提问的习惯，如：“怎样做”、“为什么这样做”、“可以用几种方法做”、“同学的回答与我想得有什么不一样”、“哪一种方法更好”……在课堂倾听过程中，这样一些自我反思式的提问，可以把学生的`数学思维引向深层次的思考，学会捕捉引起反思的问题或提出具有反思性的见解，从而让学生乐思、巧思、善思,真正成为课堂的主人。

　　（4）于课堂小结中。成功的课堂小结，并不仅仅停留在对本堂课中出现的知识点的回顾，更重要的是要使学生对形成知识的过程进行反思，揭示教学过程中的数学思想方法，并把形成的知识建构到自己已有的知识网络中去，从而提高了学生解决问题的能力。例如：在教学二元一次方程组应用的课堂小结中，不仅要让学生回顾列二元一次方程组解应用题的基本步骤，让学生从中审题在各个环节中的重要性，还应该让学生反思把找等量关系中的列表法、列式法、画图法这几种方法构建到自己的知识体系中去，使之系统化，掌握了解应用题的基本策略。又例如：我们学习了利用相似三角形测量金字塔后。抽象出了两个基本模型，通过交流后发现凡是测量垂直的物体AB可以用以下几种方法：

　　方法1：利用太阳光互相平行原理，阳光下的影子OD，构造出相似三角形，测量辅助工具竹竿CD及其影长OD，垂直的物体AB的影长，由相似三角形性质，有

　　计算出垂直的物体AB）

　　方法2：利用标杆。

　　需测量数据：观察者的脚D到旗杆底部B的距离，B到标杆F的距离，EF长，人CD高，作CG⊥AB构造相似三角形。

　　方法3：利用镜子的反射。

　　直线L表示镜子，△ABH∽△CDH，则

　　通过亲身体验、反馈、反思，学生获得了的有价值的数学模型，培养了举一反三的能力。从这些不同的侧面，多角度地思考体会探索的方法、策略，使学生在不断的反思中，加强数学知识和能力的相互沟通，提高进行数学活动的能力。

　　2．于评价中培养学生反思性学习的能力：

　　（1）自我评价。自我评价是学生对自己的学习过程、学习结果进行自我评判与分析的一种自我审视的行为。自我评价应该是课堂教学中一种最主要、最经常的评价方式，组织有效的自我评价有助于学生随时进行自我反馈、自我调整、自我完善，有助于提高自我评价能力。教师在教学中若能引导学生把评价和反思结合起来，学生就能更快地提高自己的分析水平，因为他人的评价，只有通过自己的反思，才能转化为自己内在的智慧。

　　经常引导学生站在评价者的角度上，对自己的显性的学习结果和隐性的思考过程进行评价，反思自己的学习过程。如，在一题多问、一题多解的教学中，面对学生的多种解题思路和方法，教师要引导学生反思这些思路和解法正确与否，简捷与否，不断提高其思维品质。同时学生与学生间，

　　（2）教师评价。教师的评价包括课堂上的评价和作业、考试的评价。作业批改也是培养学生的反思性学习的出发点，对于学生的作业，在过程和结果均正确的题目上打"√"。对于过程错误或结果错误的题目，对于学习能力较强的学生，可以在该题旁打上一个"（？）"号；对学习能力一般的学生则在出错这一步后用记号"？"标出；而对学习有一定困难的学生，则先在具体错误处划"-"，并打上"×"。目的是让不同层次的学生根据老师的批改符号的提示去反思："哪里错了？"、"错误的原因是什么？"、"怎样进行改正？"等。通过对学生有针对性地培养，使学生不仅提高了思辨能力，纠正了错误，而且为进一步学习和创新作了思维上和心理上的铺垫。

　　（3）互动评价。由于文化背景，生活环境以及知识、经验等方面的差异，对于同一问题，学生解答的思路是不会完全一致的，所以教学中应注意引导学生对照他人的经验反思自己的学习过程，例如进行“互换评批作业”，通过互动的评价，学生在互动评价的交流中博采众长，反思学习过程、解决数学问题所采用的策略，这样不但让学生轻松巩固所学数学知识，还可以培养学生的主动意识并使学生学会了许多解决数学问题的策略，可以优化学习，促进教学的有效性，收到事半功倍的效果。

　　3．于自我感悟中培养学生反思性学习的能力：

　　培养学生反思性学习于自我感悟中，可以提高学生的思维自我评价水平，这是提高教学效率，培养数学能力行之有效的方法。可以通过课后要求学生写反思性学习日记。通过反思性学习日记，学生可以对所学的数学知识进行反思。使学生超越认知层面，对本节数学知识的再认知，促使学生形成反思习惯。同时建一个属于自己的数学错题库，是一条很好的培养学生反思学习的途径。

　　培养反思性学习的案例

　　图形折叠问题是近年来中考的一个热点，在中考专题复习之前，布置学生去反思：矩形折叠问题实质上用了那些知识点，可以用几种模式去做？学生通过知识整理和反思在课上学生情绪高涨，最后得出：矩形折叠问题其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分。要充分运用以上结论，作辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数定义等知识来解决折叠问题。可以归纳为以下几种模式：

　　模式一：折叠后两个顶点相重合

　　如图1，矩形纸片ABCD的长为8cm，宽为6cm，把纸片对折，使相对顶点A、C重合，求其折痕的长。

　　图1

　　规律：折痕是对折两点连线的中垂线，是解该类问题的突破口。本题中折叠后使点A与C重合），而折痕未知，如图1，设折痕为EF，由折叠的对称性，可知EF就是AC的中垂线。易证

　　模式二：沿对角线折叠

　　如图2，将矩形ABCD（AB＜AD＝沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F.

　　规律：如图将矩形纸片ABCD沿直线BD,折叠一次（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示）将得到的所有

　　可得到：全等三角形（包括实线虚线在内）

　　△ABD≌△CDB≌△EDB△ABF≌△EDF

　　（如图∠AFB=∠EFD，∠A=∠E，AB=ED，所以△ABF≌△EDF）

　　模式三：折叠一个角，一个顶点落特殊位置顶点落在对角线上

　　如图3，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，求AG.

　　规律：折叠后的图形（如图3），设A点落在BD上的位置为A1，则A点关于直线DG的对称点为点A1，连结A1G，（如图4）

　　可知△ADG≌△A1DG，AG=A1G，

　　AD=A1D。在Rt△BA1G中，

　　利用勾股定理列出方程：

　　顶点落在中位线上

　　用一张矩形纸，把矩形ＡＢＣＤ纸对折，设折痕为ＭＮ，再把Ｂ点叠在折痕线上，得到Rt△ＡＢＥ，沿着ＥＢ线折叠，得到△ＥＡＦ（如图5）。判断△ＥＡＦ的形状。

　　答案：△ＥＡＦ为等边三角形。

　　规律：根据折叠情况，可知，N为CD中点，PN//AD

　　∴点P是AE的中点，

　　∴在Rt△ABE中，PA=PB

　　∴∠2=∠3

　　又∵PN//AD∴∠1=∠3

　　根据折叠规律（图6）：∠4=∠2

　　∴∠1=∠2=∠4=30?/SPAN

　　∴∠EAF=60?/SPAN=∠AEF

　　∴△ＥＡＦ为等边三角形。

　　模式四：折叠后一个顶点落在对边上

　　如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D落在边BC上的F点处

　　规律：用△ADE≌△AFE,△AB∽△FCE,Rt△ABF用勾股定理，

　　在复习课前，通过教师的引导，事先让学生对已学学知识画结构图、找疑惑处、找典型题、常见题，使学生带着问题、带着兴趣进入课堂，在课堂中学生就不会被老师牵着鼻子走了。同时培养了学生学会总结、学会引申、学会推广的能力。

　　学生养成了“反思性学习”方式，在学习过程中，会不断地对知识、方法、思路、策略等进行深入分析、研究、探索等，这种学习方式不仅对数学的学习有所帮助，并对学生今后的任何课程的学习都有很大的帮助。(