高二同步练习数学参考答案大全

张东东老师2023-08-27 06:27:06

高二数学试题练习答案

【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.

一、选择题(每小题6分，共42分)

1.b2=ac,是a,b,c成等比数列的( )

A.充分不必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因当b2=ac时，若a=b=c=0,则a,b,c不成等比数列;若a,b,c成等比，则，即b2=ac.

2.一个公比q为正数的等比数列{an}，若a1+a2=20,a3+a4=80,则a5+a6等于( )

A.120 B.240 C.320 D.480

【答案】C

【解析】∵a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列(公比为q2).

∴a5+a6= =320.

3.数列{an}的前n项和Sn=3n+a,要使{an}是等比数列，则a的值为( )

A.0 B.1 C.-1 D.2

【答案】C

【解析】∵an=

要使{an}成等比，则3+a=2?31-1=2?30=2,即a=-1.

4.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x,y∈R,都有f(x)?f(y)=f(x+y),若a1= ,an=f(n)(n∈N_),则数列{an}前n项和Sn的取值范围是( )

A.[ ，2) B.[ ，2]

C.[ ，1) D.[ ，1]

【答案】C

【解析】因f(n+1)=f(1)?f(n),则an+1=a1?an= an，

∴数列{an}是以为首项，公比为的等比数列.

∴an=( )n.

Sn= =1-( )n.

∵n∈N_,∴ ≤Sn<1.

5.等比数列{an}的各项都是正数，且a2, a3,a1成等差数列，则的值是( )

A. B.

C. D. 或

【答案】B

【解析】∵a3=a2+a1,

∴q2-q-1=0,q= ，或q= (舍).

∴ .

6.(2010北京宣武区模拟，4)在正项等比数列{an}中，a1、a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a40?a50?a60的值为( )

A.32 B.64 C.±64 D.256

【答案】B

【解析】因a1?a99=16,故a502=16,a50=4,a40?a50?a60=a503=64.

7.如果P是一个等比数列的前n项之积，S是这个等比数列的前n项之和，S′是这个等比数列前n项的倒数和，用S、S′和n表示P，那么P等于( )

A.(S?S′ B.

C.( )n D.

【答案】B

【解析】设等比数列的首项为a1,公比q(q≠1)

则P=a1?a2?…?an=a1n? ,

S=a1+a2+…+an= ,

S′= +…+ ,

∴ =(a12qn-1 =a1n =P,

当q=1时和成立.

二、填空题(每小题5分，共15分)

8.在等比数列中，S5=93，a2+a3+a4+a5+a6=186,则a8=___________________.

【答案】384

【解析】易知q≠1，由S5= =93及 =186.

知a1=3,q=2,故a8=a1?q7=3×27=384.

9.(2010湖北八校模拟，13)在数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an,a1=1,an+1= Sn(n≥1),则an=

【答案】( )?( )n-2

【解析】∵an+1= Sn,

∴an= Sn-1(n≥2).

①-②得,an+1-an= an,

∴ (n≥2).

∵a2= S1= ×1= ,

∴当n≥2时，an= ?( )n-2.

10.给出下列五个命题，其中不正确的命题的序号是_______________.

①若a,b,c成等比数列，则b= ②若a,b,c成等比数列，则ma,mb,mc(m为常数)也成等比数列 ③若{an}的通项an=c(b-1)bn-1(bc≠0且b≠1),则{an}是等比数列 ④若{an}的前n项和Sn=apn(a,p均为非零常数)，则{an}是等比数列 ⑤若{an}是等比数列，则an,a2n,a3n也是等比数列

【答案】②④

【解析】②中m=0,ma,mb,mc不成等比数列;

④中a1=ap,a2=ap(p-1),a3=ap2(p-1), ,故②④不正确，①③⑤均可用定义法判断正确.

三、解答题(11—13题每小题10分，14题13分，共43分)

11.等比数列{an}的公比为q，作数列{bn}使bn= ,

(1)求证数列{bn}也是等比数列;

(2)已知q>1,a1= ,问n为何值时，数列{an}的前n项和Sn大于数列{bn}的前n项和Sn′.

(1)证明：∵ =q,

∴ 为常数，则{bn}是等比数列.

(2)【解析】Sn=a1+a2+…+an

= ,

Sn′=b1+b2+…+bn

= ,

当Sn>Sn′时，

又q>1,则q-1>0,qn-1>0,

∴ ,即qn>q7,

∴n>7,即n>7(n∈N_)时，Sn>Sn′.

12.已知数列{an}:a1,a2,a3,…,an,…,构造一个新数列：a1,(a2-a1),(a3-a2),…,(an-an-1),…此数列是首项为1，公比为的等比数列.

(1)求数列{an}的通项;

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

【解析】(1)由已知得an-an-1=( )n-1(n≥2),a=1,

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)

= [1-( )n].

(2)Sn=a1+a2+a3+…+an

= - [ +( )2+…+( )n]

= - [1-( )n]

= ×( )n.

13.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=20,设cn=11-log2a2n.

(1)求数列{cn}的前n项和Sn.

(2)是否存在n∈N_,使得成立?请说明理由.

【解析】(1)由已知得

∴an=a1qn-1=2n.

∴cn=11-log2a2n=11-log222n

=11-2n.

Sn=c1+c2+…+cn= =-n2+10n.

(2)假设存在n∈N_,使得即 .

∴22n+3×2n-3<0,解得 .

∵ =1,而2n≥2,

故不存在n∈N_满足 .

14.(2010湖北黄冈中学模拟，22) 已知函数f(x)= ,x∈(0,+∞),数列{xn}满足xn+1=f(xn),(n=1,2,…),且x1=1.

(1)设an=|xn- |,证明：an+1<an;< p="">

(2)设(1)中的数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn< .

证明：(1)an+1=|xn+1- |=|f(xn)- |= .

∵xn>0,

∴an+1<( -1)|xn- |<|xn- |=an,

故an+1<an.< p="">

(2)由(1)的证明过程可知

an+1<( -1)|xn- |

<( -1)2|xn-1- |

<…<( -1)n|x1- |=( -1)n+1

∴Sn=a1+a2+…+an<|x1- |+( -1)2+…+( -1)n

=( -1)+( -1)2+…+( -1)n

= [1-( -1)n]< .

高二数学综合测试参考答案

一、选择题：1-5 BAACD 6-10 BCACC 11-12 BD

二、填空题

13 . 80 14.±或0 15 .6-3 16.?-?

??,? 33?

三、解答题

17 .证明:(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，

∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.

又∵B1F1∩AF1=F1，C1F∩BF=F，

∴平面AB1F1∥平面C1BF.

(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.

又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1=A1，

∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB1F1，

∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.

18 .解：(1)设y-1=k，则k表示点P(x,y)与点(2，1)连线的斜率.当该直线与圆相切x-2

2kk2+1=1，解得k=±3y-1，∴的值为，3x-23时，k取得值与最小值.由

最小值为-. 3

(2)设2x+y=m，则m表示直线2x+y=m在y轴上的截距. 当该直线与圆相切时，m取得值与最小值.由-m5=1，解得m=1±，∴2x+y的值为1+，最小值为1-.

19.(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，

所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，

又PQ?平面ACD，

从而PQ∥平面ACD.

(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC=BC，所以CQ⊥

AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，

所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.

故CQ⊥平面ABE.

由(1)有PQ∥DC，又PQ==DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，

因此DP⊥平面ABE，

∠DAP为AD和平面ABE所成的角，

在Rt△DPA中，AD=5，DP=1，

sin∠DAP=，因此AD和平面ABE所成角的正弦值为

221255520.解：(1)配方得(x-1)+(y-2)=5-m，所以5-m>0，即m<5，

(2)设M(x1，y1)、N(x2，y2)，∵ OM⊥ON，所以x1x2+y1y2=0，

x+2y-4=0?2由?2 得5x-16x+m+8=0， 2?x+y-2x-4y+m=0

因为直线与圆相交于M、N两点，所以△=16-20(m+8)>0，即m<

所以x1+x2=224， 516m+84m-16，x1x2=， y1y2=(4-2x1)(4-2x2)=16-8(x1+x2)+4x1x2=， 555

8824代入解得m=满足m<5且m<，所以m=. 555

21.(1)证明：如图所示，取CD的中点E，

连接PE，EM，EA，

∵△PCD为正三角形，

∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin603.

∵平面PCD⊥平面ABCD，

∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM.

∵四边形ABCD是矩形，

∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM3，AM=6，AE=3，

∴EM+AM=AE.∴AM⊥EM.

又PE∩EM=E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.

(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，

∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角.

PE3∴tan∠PME=1，∴∠PME=45°. EM3

∴二面角P-AM-D的大小为45°.22.(1)证明：连接AE，如下图所示.

∵ADEB为正方形，

∴AE∩BD=F，且F是AE的中点，

又G是EC的中点，

∴GF∥AC，又AC?平面ABC，GF?平面ABC，

∴GF∥平面ABC.

(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，

又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC=AB，EB?平面ABED，

∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.

又∵AC=BC222AB， 22∴CA+CB=AB，

∴AC⊥BC.

又∵BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE.

(3)取AB的中点H，连GH，∵BC=AC=22= 22

1∴CH⊥AB，且CH=，又平面ABED⊥平面ABC 2

111∴GH⊥平面ABCD，∴V=1×326

高二数学练习册试题答案

1.下列说法中不正确的是()

A.数列a，a，a，…是无穷数列

B.1，-3，45，-7，-8，10不是一个数列

C.数列0，-1，-2，-3，…不一定是递减数列

D.已知数列{an}，则{an+1-an}也是一个数列

解析：选B.A，D显然正确;对于B，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B不正确;对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列.故选B.

2.已知数列{an}的通项公式为an=1+(-1)n+12，则该数列的前4项依次为()

A.1，0，1，0B.0，1，0，1

C.12，0，12，0D.2，0，2，0

解析：选A.当n分别等于1，2，3，4时，a1=1，a2=0，a3=1，a4=0.

3.已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n，那么()

A.30是数列{an}的一项B.44是数列{an}的一项

C.66是数列{an}的一项D.90是数列{an}的一项

解析：选C.分别令2n2-n的值为30，44，66，90，可知只有2n2-n=66时，n=6(负值舍去)，为正整数，故66是数列{an}的一项.

4.已知数列的通项公式是an=2，n=1，n2-2，n≥2，则该数列的前两项分别是()

A.2，4B.2，2

C.2，0D.1，2

解析：选B.当n=1时，a1=2;当n=2时，a2=22-2=2.

5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是()

A.an=n2-n+1B.an=n(n-1)2

C.an=n(n+1)2D.an=n(n+2)2

解析：选C.法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果.图形中，点的个数依次为1，3，6，10，代入验证可知正确答案为C.

法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式.观察点的个数的增加趋势可以发现，a1=1×22，a2=2×32，a3=3×42，a4=4×52，所以猜想an=n(n+1)2，故选C.

6.若数列{an}的通项满足ann=n-2，那么15是这个数列的第________项.

解析：由ann=n-2可知，an=n2-2n.

令n2-2n=15，得n=5.

答案：5

7.已知数列{an}的前4项为11，102，1003，10004，则它的一个通项公式为________.

解析：由于11=10+1，102=102+2，1003=103+3，10004=104+4，…，所以该数列的一个通项公式是an=10n+n.

答案：an=10n+n

8.已知数列{an}的通项公式为an=2017-3n，则使an>0成立的正整数n的值为________.

解析：由an=2017-3n>0，得n<20173=67213，又因为n∈N+，所以正整数n的值为672.

答案：672

9.已知数列{n(n+2)}：

(1)写出这个数列的第8项和第20项;

(2)323是不是这个数列中的项?如果是，是第几项?

解：(1)an=n(n+2)=n2+2n，所以a8=80，a20=440.

(2)由an=n2+2n=323，解得n=17.

所以323是数列{n(n+2)}中的项，是第17项.

10.已知数列2，74，2，…的通项公式为an=an2+bcn，求a4，a5.

解：将a1=2，a2=74代入通项公式，

得a+bc=2，4a+b2c=74，解得b=3a，c=2a，所以an=n2+32n，

所以a4=42+32×4=198，a5=52+32×5=145.

[B能力提升]

11.已知数列{an}的通项公式为an=sinnθ，0<θ<π6，若a3=12，则a15=____________.

解析：a3=sin3θ=12，又0<θ<π6，所以0<3θ<π2，所以3θ=π6，所以a15=sin15θ=sin56π=12.

答案：12

12.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为________.

解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故an=15n-14.

由an=15n-14≤2017得n≤135.4，当n=1时，此时a1=1，不符合，故此数列的项数为135-1=134.

答案：134

13.在数列{an}中，a1=3，a17=67，通项公式是关于n的一次函数.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求a2016;

(3)2017是否为数列{an}中的项?若是，为第几项?

解：(1)设an=kn+b(k≠0).

由a1=3，且a17=67，得k+b=317k+b=67，

解之得k=4且b=-1.所以an=4n-1.

(2)易得a2016=4×2016-1=8063.

(3)令2017=4n-1，得n=20184=10092?N+，

所以2017不是数列{an}中的项.

14.(选做题)已知数列9n2-9n+29n2-1，

(1)求这个数列的第10项;

(2)98101是不是该数列中的项，为什么?

(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内;

(4)在区间13，23内是否有数列中的项?若有，有几项?若没有，说明理由.

解：(1)设an=9n2-9n+29n2-1=(3n-1)(3n-2)(3n-1)(3n+1)=3n-23n+1.令n=10，得第10项a10=2831.

(2)令3n-23n+1=98101，得9n=300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项.

(3)证明：因为an=3n-23n+1=3n+1-33n+1=1-33n+1，

又n∈N+，所以0<33n+1<1，所以0

所以数列中的各项都在区间(0，1)内.

(4)令13<3n-23n+1<23，所以3n+1<9n-6，9n-6<6n+2，

所以n>76，n<83.所以76

当且仅当n=2时，上式成立，故区间13，23内有数列中的项，且只有一项为a2=47.

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