二次函数解题方法
1、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题:
这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标(若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标),任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线(显然最多有3条),此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可。
进一步有:
①若是否存在这样的动点构成矩形呢?先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否?若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在。
②若是否存在这样的动点构成棱形呢?先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否?若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在。
③若是否存在这样的动点构成正方形呢?先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等?和两条对角线是否相等?若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在。
2.“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题:(此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形。)
先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示(如果图形是动图形就只能表示出其面积)或计算(如果图形是定图形就计算出它的具体面积),然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可。(注意去掉不合题意的点),如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可。
3.“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题:
若夹直角的两边与y轴都不平行:先设出动点坐标(一母示),视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线(没有与y轴平行的直线)垂直的斜率结论(两直线的斜率相乘等于-1),得到一个方程,解之即可。
若夹直角的两边中有一边与y轴平行,此时不能使用斜率公式。补救措施是:过余下的那一个点(没在平行于y轴的那条直线上的点)直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定。
4.“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题。
①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式(如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程),利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否?若等,该交点合题,反之不合题,舍去。
②若动点为直角顶点:先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1?若为-1,则就说明所求交点合题;反之,舍去。
5.“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题:
题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。
初三数学二次函数难题
1、变化后的二次函数,配方得到y=(x+3/2)^2-13/4因为是由原函数向下平移2个单位,再向左平移3个单位得到的,所以将变化后的函数:3/2-3=-3/2-13/4+2=-5/4得到y=(x-3/2)^2-5/4展开后,即得到方程y=x^2-3x+1所以b=-3c=12、依题意得,设C(0,y),坐标原点为O因为三角形ABC是直角三角形所以有三角形OAC与变化后的二次函数,配方得到
y=(x+3/2)^2-13/4
因为是由原函数向下平移2个单位,再向左平移3个单位得到的,所以将变化后的函数:
3/2-3=-3/2
-13/4+2=-5/4
得到y=(x-3/2)^2-5/4
展开后,即得到方程y=x^2-3x+1
所以
b=-3
c=1
2、
依题意得,设C(0,y),坐标原点为O
因为三角形ABC是直角三角形...显示剩下8行
1、
变化后的二次函数,配方得到
y=(x+3/2)^2-13/4
因为是由原函数向下平移2个单位,再向左平移3个单位得到的,所以将变化后的函数:
3/2-3=-3/2
-13/4+2=-5/4
得到y=(x-3/2)^2-5/4
展开后,即得到方程y=x^2-3x+1
所以
b=-3
c=1
2、
依题意得,设C(0,y),坐标原点为O
因为三角形ABC是直角三角形
所以有三角形OAC与三角形OCB相似
所以|OA|:|OC|=|OC|:|OB|
2:y=y:4
解得C(0,正负2根号2)
将三点坐标代入方程y=ax^2+bx+c
解之得
y=-根号2/6x^2+5根号2/6x+2根号2
或y=根号2/6x^2-根号2/6x-2根号2
y=ax^2+4ax+t,
0=a-4a+t,
t=3a,
即Y=a(x^2+4x+3)=a(x+3)(x+1),
抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(-3,0).
D是抛物线与y轴的交点.则
点D坐标为(0,3a).
当Y=3a时,3a=ax^2+4ax+3a,
x1=0,x2=-4.
则点C的坐标为(-4,3a),
|AB=|-3+1|=2,
|CD|=|-4-0|=4.
梯形ABCD的面积为9,有
9=1/2.(|AB|+|CD|).|3a|,
a1=1,a2=-1.
此抛物线的函数关系式为
Y=X^2+4X+3,或Y=-X^2-4X-3.
中考数学二次函数的4个考点
考点1:函数以及函数的定义域、函数值等有关概念,函数的表示法,常值函数<
考核要求:
(1)通过实例认识变量、自变量、因变量,知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;
(2)知道常值函数;
(3)知道函数的表示方法,知道符号的意义。
考点2:用待定系数法求二次函数的解析式
考核要求:
(1)掌握求函数解析式的方法;
(2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法。
注意求函数解析式的步骤:一设、二代、三列、四还原。
考点3:画二次函数的图像
考核要求:
(1)知道函数图像的意义,会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像
(2)理解二次函数的图像,体会数形结合思想;
(3)会画二次函数的大致图像。
考点4:二次函数的图像及其基本性质
考核要求:
(1)借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质,建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;
(2)会用配方法求二次函数的顶点坐标,并说出二次函数的有关性质。
注意:
(1)解题时要数形结合;
(2)二次函数的平移要化成顶点式。
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