基本步骤
(一)第一数学归纳法:
一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n),有如下步骤:
(1)证明当n取第一个值n0时命题成立.n0对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况;
(2)假设当n=k(k≥n0,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立.
(二)第二数学归纳法:
对于某个与自然数有关的命题P(n),
(1)验证n=n0时P(n)成立;
(2)假设n0≤nn0)成立,能推出Q(k)成立,假设 Q(k)成立,能推出 P(k+1)成立;
综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),P(n),Q(n)都成立.
原理
最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步:
证明当n= 1时命题成立。
假设n=m时命题成立,那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。(m代表任意自然数)
这种方法的原理在于:首先证明在某个起点值时命题成立,然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明,那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如:你有一列很长的直立着的多米诺骨牌,如果你可以:
证明第一张骨牌会倒。
证明只要任意一张骨牌倒了,那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。
解题要点
数学归纳法对解题的形式要求严格,数学归纳法解题过程中,
第一步:验证n取第一个自然数时成立
第二步:假设n=k时成立,然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导,在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。
最后一步总结表述。
需要强调是数学归纳法的两步都很重要,缺一不可,否则可能得到下面的荒谬证明:
证明1:所有的马都是一种颜色
首先,第一步,这个命题对n=1时成立,即,只有1匹马时,马的颜色只有一种。
第二步,假设这个命题对n成立,即假设任何n匹马都是一种颜色。那么当我们有n+1匹马时,不妨把它们编好号:
1, 2, 3……n, n+1
对其中(1、2……n)这些马,由我们的假设可以得到,它们都是同一种颜色;
对(2、3……n、n+1)这些马,我们也可以得到它们是一种颜色;
由于这两组中都有(2、3、……n)这些马,所以可以得到,这n+1种马都是同一种颜色。
这个证明的.错误来于推理的第二步:当n=1时,n+1=2,此时马的编号只有1、2,那么分的两组是(1)和(2)——它们没有交集,所以第二步的推论是错误的。数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1,2,3……的数都成立,而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大,推倒了第一块,但它不会推倒第二块。即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等,但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。
证明2:举例证明下面的定理
——等差数列求和公式
第一步,验证该公式在 n = 1 时成立。即有左边=1,右边=
=1,所以这个公式在n = 1时成立。
第二步,需要证明假设n = m 时公式成立,那么可以推导出n = m+1 时公式也成立。步骤如下:
假设n = m 时公式成立,即
(等式1)
然后在等式两边同时分别加上m + 1 得到
(等式2)
这就是n = m+1 时的等式。我们下一步需要根据 等式1证明 等式2 成立。通过因式分解合并,等式2的右边
也就是
这样我们就完成了由n=m成立推导出n=m+1成立的过程,证毕。
结论:对于任意自然数n,公式均成立。
对于以上例2的分析
在这个证明中,归纳的过程如下:
首先证明n=1成立。
然后证明从n=m 成立可以推导出n=m+1 也成立(这里实际应用的是演绎推理)。
根据上两条从n=1 成立可以推导出n=1+1,也就是n=2 成立。
继续推导,可以知道n=3 成立。
从 n=3 成立可以推导出n=4 也成立……
不断重复3的推导过程(这就是所谓“归纳”推理的地方)。
我们便可以下结论:对于任意非零自然数n,公式成立。
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