数学考点之平方根和无理数三篇

初中数学知识点：平方根

如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，如果x2=a，那么x叫做a的平方根，这里a是x的平方，它是一个非负数，即a≥0。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数;②0有一个平方根，是0本身;③负数没有平方根。

性质：

①一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。

显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。

②如果一个正数x的平方等于a，即x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a

的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。

③规定：0的平方根是0。

④负数在实数范围内不能开平方，只有在复数范围内，才可以开平方根。

例如：-1的平方根为±1，-9的平方根为±3。

⑤平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。

平方根和算术平方根都只有非负数才有。

被开方数是乘方运算里的幂。

求平方根可通过逆运算平方来求。

开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。

若x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，即正负根号a=正负x

利用长式除法可以求平方根。长式除法需要进行加法，减法，乘法，除法等四则运算。一般计算机软件的运算精度小于20位数字，如要计算平方根到100位，四则运算的精度需100位以上。

初中数学知识点：算术平方根

1、概念：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根。

规定：0的算术平方根是0。

2、表示：a的算术平方根记为

，读作“根号a”。

注：只有非负数有算术平方根，而且只有一个算术平方根。

平方根和算术平方根的区别于联系：

它们之间的区别：

(1)定义不同：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根;非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根。

(2)个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;而一个正数的算术平方根只有一个。

(3)表示方法不同：正数a的平方根表示为±a，正数a的算术平方根表示为a。

(4)取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数;正数的平方根一正一负，两数互为相反数。

它们之间的联系：

(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种，是正的平方根。

(2)存在条件相同：只有非负数才有平方根和算术平方根。

(3)0的平方根，算术平方根均为0。开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。

注：(1)平方和开平方的关系是互为逆运算;

(2)乘方是求根的途径，开平方是一种运算，是求平方根的过程;

(3)开方的方式是根号形式。

初中数学知识点：无理数的定义

无理数定义：

即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。

所有的有理数都可以写成两个整数之比;而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。

无理数性质：

无限不循环的小数就是无理数 。换句话说，就是不可以化为整数或者整数比的数

性质1 无理数加(减)无理数既可以是无理数又可以是有理数

性质2 无理数乘(除)无理数既可以是无理数又可以是有理数

性质3 无理数加(减)有理数一定是无理数

性质4 无理数乘(除)一个非0有理数一定是无理数

无理数的识别：

判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写出无限不循环小数，而把无理数写成无限不循环小数，不但麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。

初中常见的无理数有三种类型：

(1)含根号且开方开不尽的方根，但切不可认为带根号的数都是无理数;

(2)化简后含π的式子;

(3)不循环的无限小数。

掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。

无理数的历史：

毕达哥拉斯(Pythagqras,约公元前885年至公元前400年间)是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理(勾股弦定理)，即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“凡物皆数”的观点，数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。在他死后大约200年，他的门徒们把这种理论加以研究发展，形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。

公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希伯索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数)，这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒，于是希伯索斯被残忍地扔进了大海。

希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。

不可约的本质是什么?长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。

然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。