轴对称知识点汇总三篇

李盛老师

轴对称最全知识点汇总

一、知识梳理

1、轴对称

如果把一个图形沿着某一条直线折叠后,能够与另一个图形重合,那么这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做对称轴.

两个图形中的对应点叫对称点.

2、轴对称图形

把一个图形沿一条直线折叠,如果直线两旁的部分能互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这个图形关于这条直线(成轴)对称.

3、轴对称与对称轴的区别与联系

区别:

轴对称指的是两个图形的位置关系,而轴对称图形指的是具有对称性的某一个图形.

联系:

如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么这个整体就是一个轴对称图形.

如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形,那么这两部分图形就成轴对称.

4、一些典型图形的对称轴条数和表述语言

正方形有4条对称轴,分别是对角线所在直线,2条;对边中点连线所在直线,2条.

长方形有2条对称轴,是对边中点连线所在直线,2条.

等腰三角形有1条对称轴,是顶角顶点与对边中点连线所在直线.(或顶角角平分线,底边中线,底边上的高所在直线)

等边三角形有3条对称轴,分别是任意顶点与对边中点连线所在直线,3条.(或任意角角平分线,任意边的中线,任意边上的高所在直线)

等腰梯形有1条对称轴,是上底中点与下底中点连线所在直线.

圆有无数条对称轴,分别是直径所在直线,无数条.

5、垂直平分线(中垂线)定义

垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.

书写格式:

判定:

∵AO=A′O,∠1=90°,

∴l 是AA′的垂直平分线.

性质:

∵l是AA′的垂直平分线,

∴AO=A′O,∠1=∠2=90° .

6、轴对称性质

成轴对称的两个图形全等,且

(1)对应点的连线被对称轴垂直平分.

(2)对应点的连线互相平行(或在同一条直线上).

(3)对应线段相等,对应角相等.

(4)对应线段所在直线的交点在对称轴上(或对应线段所在直线互相平行).

7、对称轴的作法

法1:作一条对应点的连线,并作其中垂线.

法2:作两条对应点的连线,并分别作其中点,两点确定一条直线.

法3:分别延长两对对应线段,确定两个交点,两点确定一条直线.

8、给出一个图形及对称轴,作其对称图形的作法

过原图形各点画对称轴的垂线,以各点到垂足的距离为半径,截取相等,将所作对应点分别相连.

八年级数学轴对称 知识讲解

轴对称

【学习目标】

1.理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念,弄清它们之间的区别与联系,能识别轴对称图形.

2.理解图形成轴对称的性质,会画一些简单的关于某直线对称的图形.

3.理解线段的垂直平分线的概念,掌握线段的垂直平分线的性质及判定,会画已知线段的垂直平分线.

4.能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题.

【要点梳理】

要点一、轴对称图形

轴对称图形的定义

一个图形沿着某直线折叠,直线两旁的部分能完全重合,这个图形就叫做轴对称图形,该直线就是它的对称轴.

要点诠释:

轴对称图形是指一个图形,图形被对称轴分成的两部分能够互相重合.一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条,也可能有两条或多条,因图形而定.

要点二、轴对称

1.轴对称定义

把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称(或说这两个图形成轴对称),这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,也叫做对称点

要点诠释:

轴对称指的是两个图形的位置关系,两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合.成轴对称的两个图形一定全等.

2.轴对称与轴对称图形的区别与联系

轴对称与轴对称图形的区别主要是:轴对称是指两个图形,而轴对称图形是一个图形;轴对称图形和轴对称的关系非常密切,若把成轴对称的两个图形看作一个整体,则这个整体就是轴对称图形;反过来,若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形,则这两个图形关于这条直线(原对称轴)对称.

要点三、轴对称与轴对称图形的性质

轴对称、轴对称图形的性质

轴对称的性质:若两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;

轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

要点四、线段的垂直平分线

定义:

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线.

性质:

性质1:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;

性质2:与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

要点诠释:

线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法,那就是遇见线段的垂直平分线,画出到线段两个端点的距离,这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形创造条件.

三角形三边垂直平分线交于一点,该点到三角形三顶点的距离相等,这点是三角形外接圆的圆心

初二数学轴对称测试题及答案

1.下列图形不是轴对称图形的是(  )

2.已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是(  )

A.5 B.6 C.11 D.16

3.已知am=5,an=6,则am+n的值为(  )

A.11 B.30 C. D.

4.下列计算错误的是(  )

A.(﹣2x)3=﹣2x3 B.﹣a2?a=﹣a3 C.(﹣x)9+(﹣x)9=﹣2x9 D.(﹣2a3)2=4a6

5.如图,将两根钢条AA′、BB′的中点 O连在一起,使AA′、BB′能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是(  )

A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS

6.计算(x+3y)2﹣(3x+y)2的结果是(  )

6.计算(x+3y)2﹣(3x+y)2的结果是(  )

A.8x2﹣8y2 B.8y2﹣8x2 C.8(x+y)2 D.8(x﹣y)2

7.如图:DE是△ABC中AC边的垂直平分线,若BC=8厘米,AB=10厘米,则△EBC的周长为(  )厘米.

A.16 B.18 C.26 D.28

8.计算(﹣2x+1)(﹣3x2)的结果为(  )

A.6x3+1 B.6x3﹣3 C.6x3﹣3x2 D.6x3+3x2

9.分解因式:x2﹣4y2的结果是(  )

A.(x+4y)(x﹣4y) B.(x+2y)(x﹣2y) C.(x﹣4y)2 D.(x﹣2y)2

10.如图,AD是角平分线,E是AB上一点,AE=AC,EF∥BC交AC于F.下列结论①△ADC≌△ADE;②CE平分∠DEF;③AD垂直平分CE.其中正确的是( )

A①②③ B、① C、② D、③

二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)

11.计算:20130﹣2﹣1=__________

12.化简(1- )(m+1)的结果是  .

13.如图,这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形,按这种方式摆下去,则第n个图形的周长是   .

14.如图,点D在△ABC边BC的延长线上,CE平分∠ACD,∠A=80°,∠B=40°,则∠ACE的大小是   度.

15.如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,

则∠E=   度.

16.已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°,则这个多边形边数是   .

三、解答题(共8题,共72分)

17.(本题8分)计算:

(1)(3a﹣2b)(9a+6b); (2)(﹣2m﹣1)2;

18.(本题8分)分解因式:4m2﹣9n2

19.(本题8分)解分式方程 =

20.(本题8分)已知:如图,AB=CD,AB∥CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E、F是垂足,AF=5,求CE的长.

21.(本题10分)如图,在平面直角坐标系中,直线l是第一、三象限的角平分线.

实验与探究:

(1)由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(﹣2,5)关于直线l的对称点B′、C′的位置,并写出他们的坐标:B′   、C′   ;

归纳与发现:

(2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为   ;

运用与拓广:

22.(本题8分)2015年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通,从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米,运行时间减少了9小时,已知烟台到北京的普快列车里程约为1026千米,高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍.

(1)求高铁列车的平均时速;

(2)某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14:00召开的会议,如果他买到当日8:40从烟台至城市的高铁票,而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时,试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗?

23.(本题10分)如图,点E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D.

求证:(1)∠ECD=∠EDC;

(2)OC=OD;

(3)OE是线段CD的垂直平分线.

24.(本题12分)如图,已知△ABC中,∠B=∠C,AB=8厘米,BC=6厘米,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动,设运动时间为t(秒)(0≤t≤3).

(1)用的代数式表示PC的长度;

(2)若点P、Q的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;

(3)若点P、Q的运动速度不相等,当点Q的运动速度a为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?

参考答案

一、选择题

1. B. 2. C. 3. B. 4. A. 5. A. 6. B. 7. B. 8. C. 9. B. 10. A

二、填空题

11. 12. m. 13. 2+n. 14. 60 15. 15 16.十一.

三、解答题

17.解:(1)原式=3(3a﹣2b)(3a+2b)=3(9a2﹣4b2)=27a2﹣12b2;

(2)原式=4m2+4m+1;

18.解:4m2﹣9n2=(2m+3n)(2m﹣3n).

19.解:去分母得:3x=2x+2,

解得:x=2,

经检验x=2是分式方程的解.

故答案为:x=2.

20.解:∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠AFB=90°,

∵AB∥CD,

在△DEC和△BFA中,

∠DEC=∠AFB,∠ C=∠A,DC=BA,

∴△DEC≌△BFA,

∴CE=AF,

∴CE=5.

21.解:(1)如图:B′(3,5),C′(5,﹣2);

(2)(b,a);

22.解:(1)设普快的平均时速为x千米/小时,高铁列车的平均时速为2.5x千米/小时,

由题意得, ,

解得:x=72,经检验,x=72是原分式方程的解,且符合题意,

则2.5x=180,

答:高铁列车的平均时速为180千米/小时;

(2)630÷180=3.5,则坐车共需要3.5+1.5=5(小时),

王老师到达会议地点的时间为1点40.

故他能在开会之前到达.

23.解:(1)∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,

∴ED=EC,即△CDE为等腰三角形,∴∠ECD=∠EDC;

(2)∵点E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,

∴∠DOE=∠COE,∠ODE=∠OCE=90°,OE=OE,

∴△OED≌△OEC(AAS),∴OC=OD;

(3)在△DOE和△COE中,OC=OD,∠EUC=∠BOE,OE=OE,

∴△DOE≌△COE,∴DE=CE,

∴OE是线段CD的垂直平分线.

24.解:(1)BP=2t,则PC=BC﹣BP=6﹣2t;

(2)△BPD和△CQP全等

理由:∵t=1秒∴BP=CQ=2×1=2厘米,∴CP=BC﹣BP=6﹣2=4厘米,

∵AB=8厘米,点D为AB的中点,∴BD=4厘米,∴PC=BD,

在△BPD和△CQP中,BD=PC,∠B=∠C,BP=CQ,

∴△BPD≌△CQP(SAS);

(3)∵点P、Q的运动速度不相等,∴BP≠CQ

又∵△BPD≌△CPQ,∠B=∠C,∴BP=PC=3cm,CQ=BD=4cm,

∴点P,点Q运动的时间t= = 秒, ∴VQ= = 厘米/秒.