高二微积分学习方法
一、学习高等数学,首先要理解知识间的必然联系,在头脑中形成一个知识网络。
《高等数学》(一)微积分教材共有八章,涉及极限、微分、积分、级数、微分方程等方方面面的知识,需要理解、记忆、掌握、熟练运用大量的定理与公式。这就要求学习者在学习的过程中,理清思路,弄清整本教材的脉络。
该课程的核心是微积分,围绕这一核心,需要了解作为微积分研究对象的一元函数和多元函数的概念。极限理论和方法是微积分建立,无穷级数学习的基础,因而极限论成为重要的基础内容。而微分方程则是微积分的一个应用,它与微积分有着密切的联系。从这些方面来看,虽然函数、极限、微分、积分、无穷级数、微分方程各自有各自的特点,但它们又是一个密不可分的整体。为此,在学习的过程中,应该掌握好每一块内容的重点和要点,由点带动面的学习,由局部带动整体的理解。
二、学习高等数学时,注意多归纳、勤总结。
归纳总结能帮助学习者将一些比较分散的知识集中起来,做到对某一方面的知识有一个全面、深入的了解,这样在解决问题时,头脑中会形成更多的思路,找到更多的解题方法。
下面是对极限求法的一个归纳总结,以此说明归纳总结的重要性,同时也希望能对学习者起到一个抛砖引玉的作用。
求数列或函数极限,是高等数学里的一类基础而重要的问题。常见的求法归纳起来有如下几种:
1.先估计数列或函数的极限值,而后利用定义进行验证,这是求极限的最基本的方法,可用于求一些简单的极限。
2.利用有限个函数的和、差、积、商以及复合函数求极限的运算法则求极限,可以使一些复杂的极限计算问题得到简化。
3.利用无穷小的性质求极限。这主要包括:
①有限个无穷小的和(差、积)仍是无穷小。
②有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
③非零无穷小与无穷大互为倒数。
④等价无穷小代换。当求两个无穷小之比的极限时,分子与分母都可用等价无穷小代替。正因为等价无穷小的这一性质,所以在求极限时,可以简化计算,减少运算量,快速地解决问题,起到事半功倍的效果。要用好此性质,当然需要适当掌握一些等价的无穷小量。
4.两个重要极限及其推广形式 (这里f(x)为一自变量同一变化过程中的无穷小量)。
5.利用准则I(两边夹法则)和准则Ⅱ(单调有界数列必有极限)求极限。
6.利用洛必达法则求0/0型,(无穷)/(无穷)型,0,无穷,无穷-无穷,0的0次方,1的无穷次方,无穷的0次方型函数极限。
需要说明的是,求函数极限的方法很多,到底用哪一种方法简单,这需要具体问题具体分析。有时对一个问题,我们需要两种或两种以上的方法才能简便、快捷地计算出结果。同时运用洛必达法则和等价无穷小代换,可以大大减少计算量,同时也减少了出错的可能。
三、学习高等数学,注意自始至终要做到学习与思考相结合。
整个学习的过程就是思考的过程。我们在中学就知道,“学而不思则罔,思而不学则殆”的道理。这句话提醒我们只有把学习与思考结合起来,才能不断发现问题,有所收获。遇到一些典型问题要多加考虑,追根溯源,这样不管问题如何变化,都能做到游刃有余。
对于有些函数在高等数学里被称为变上、下限的积分函数。这类函数在极限问题和微分问题中是常见的,由于该函数较为抽象,学习和理解起来难度相对来说大一点。教材中已给出当积分上限为变量x时,有公式,我们可以进一步考虑到当积分下限为变量x时,应该有对应的公式成立。再往深处思考,我们还能想到当积分上限为变量x的函数b(x),积分下限为变量x的函数a(x)时,应该有更相对应的公式成立。通过思考若能掌握这些要点,那么再次遇到有关变上、下限的积分函数的问题,都可轻松解决了。
四、学习高等数学时,还要多加注意问题与问题之间的联系,做到自觉灵活地分析和解决问题。
对于1/x的不定积分,其一个原函数为lnx,这是一个大家都很熟悉的公式,再有我们还熟知f(x)导数的不定积分=f(x)+c。如果将这两个知识点联系起来,便可组成一个求解不定积分的问题。解决不定积分的根本出路是用公式积分,教材中列出了13个基本积分公式。但直接套用公式的积分问题是很少的。我们所遇到的大多数问题与积分表中所列公式存在差异,因此求解不定积分的基本方向是改变被积分的形式,从而达到能够运用基本积分公式的目的。于是教材中列出了三种常用的基本积分法。一是直接积分法;二是换元积分法,具体地又分为第一换元法(又称为凑微分法)和第二换元法;三是分部积分法。积分时选用哪一种方法,这就要根据题目的`特点来定,当然学习者平时的经验积累与敏锐的观察力也是必不可少的。就此例来说,被积函数中含有1/x和lnx,联系它们之间的关系,我们可选用换元法中的凑微分法,将(1/x)dx写成d(lnx),此类问题即可迎刃而解。
五、学习高等数学,日常练习是必不可少的。
通过练习,一方面可以回顾、巩固所学知识,另一方面还可以总结解题的关键和思路。但做练习也要适度,不必沿袭中学的题海战术,练习时尽量找有代表性,少而精的题目。
比如,分段函数是高等数学里一类基础却重要的函数为例。所谓分段函数是指在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的一个函数。分段函数的定义虽然简单,但我们可以利用它联系起来起很多知识。
如已知一分段函数,求:①函数的定义域;②f(1),f(0),f(-3/2),f(1/2);③研究函数在间断点处的连续性与可导性;④求积分f(x)在某个范围的定积分。
通过练习此题的①②④,可以帮助我们深入理解分段函数的定义。对于③的求解,需要用到左、右连续和左、右导数的定义以及函数在某一点处连续和可导的充要条件。更多地,我们从中还可找出函数极限存在、连续与可导之间的密切关系。可谓是一举多得。
六、学习高等数学,讲究循序渐进,不可急于求成。
这是因为任何知识的学习都需要一定的消化过程,高等数学更是如此。学习者应根据自己的实际能力选择一个适当的学习进度。不要一味地追求速度,而忽略了学习的效果,也不要因为某一方面的问题不能解决而放弃学习或停止不前。最好的学习方法是边学习边复习。不断地学习能帮助我们吸收新的知识,而有计划的复习能巩固知识,深化知识,达到对知识的深入理解。在学习过程中遇到各种各样的问题是在所难免的,如果实在不能掌握该问题,建议大家不妨暂时把问题分成一系列小的问题,然后去复习、回顾那些与此相关的基础知识,采取各个击破的方法排疑解难,直到最终解决该问题。比如说,在微分学一章中,以求多元抽象复合函数的高阶导数最为困难。为了克服这一难关,学习者最好先打牢有关的基础,如:什么是多元函数?复合函数以及多元复合函数的含义是什么?什么样的函数为抽象函数?怎样正确做出多元复合函数的求导链?如何理解多元抽象复合函数的一阶导数?解决好这些问题,会对我们掌握好多元抽象复合函数的高阶导数起到关键的作用。
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