行阶梯形矩阵方法总结

刘莉莉老师2023-08-12 17:10:27

　　行阶梯形矩阵，Row—Echelon Form，是指线性代数中的矩阵。

　　阶梯形矩阵

　　如果：

　　所有非零行（矩阵的行至少有一个非零元素）在所有全零行的上面。即全零行都在矩阵的底部。

　　非零行的首项系数（leading coefficient），也称作主元，即最左边的首个非零元素（某些地方要求首项系数必须为1），严格地比上面行的首项系数更靠右。

　　首项系数所在列，在该首项系数下面的元素都是零（前两条的推论）。

　　这个矩阵是行阶梯形矩阵：

　　化简后的行阶梯形矩阵（reduced row echelon form），也称作行规范形矩阵（row canonical form），如果满足额外的条件：

　　每个首项系数是1，且是其所在列的唯一的非零元素。例如：

　　注意，这并不意味着化简后的'行阶梯形矩阵的左部总是单位阵。例如，如下的矩阵是化简后的行阶梯形矩阵：

　　因为第3列并不包含任何行的首项系数。

　　矩阵变换到行阶梯形

　　通过有限步的行初等变换，任何矩阵可以变换为行阶梯形。由于行初等变换保持了矩阵的行空间，因此行阶梯形矩阵的行空间与变换前的原矩阵的行空间相同。

　　行阶梯形的结果并不是唯一的。例如，行阶梯形乘以一个标量系数仍然是行阶梯形。但是，可以证明一个矩阵的化简后的行阶梯形是唯一的。

　　一个线性方程组是行阶梯形，如果其增广矩阵是行阶梯形。类似的，一个线性方程组是简化后的行阶梯形或规范形，如果其增广矩阵是化简后的行阶梯形。