2022年高三数学寒假作业参考答案大全

高三上册数学寒假练习题答案

1①真命题;②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的;③真命题;④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段.

2.④

解析由|AB→|=|AC→|+|BC→|=|AC→|+|CB→|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC→与CB→同向.

3.BD1→

解析如图所示，

∵DD1→=AA1→，DD1→-AB→=AA1→-AB→=BA1→，

BA1→+BC→=BD1→，

∴DD1→-AB→+BC→=BD1→.

4.AC1→=AB→+AD→+AA1→

解析因为AB→+AD→=AC→，AC→+AA1→=AC1→，

所以AC1→=AB→+AD→+AA1→.

5.AM→

解析如图所示，

因为12(BD→+BC→)=BM→，

所以AB→+12(BD→+BC→)

=AB→+BM→=AM→.

6.①

解析观察平行六面体ABCD—A1B1C1D1可知，向量EF→，GH→，PQ→平移后可以首尾相连，于是EF→+GH→+PQ→=0.

7.相等相反

8.0

解析在任何图形中，首尾相接的若干个向量和为零向量.

9.

解(1)AB→+BC→+CD→=AC→+CD→=AD→.

(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点.

∴BE→=EC→，EF→=GD→.

∴AB→+GD→+EC→=AB→+BE→+EF→=AF→.

故所求向量AD→，AF→，如图所示.

10.

证明连结BG，延长后交CD于E，由G为△BCD的重心，

知BG→=23BE→.

∵E为CD的中点，

∴BE→=12BC→+12BD→.

AG→=AB→+BG→=AB→+23BE→=AB→+13(BC→+BD→)

=AB→+13[(AC→-AB→)+(AD→-AB→)]

=13(AB→+AC→+AD→).

11.23a+13b

解析AF→=AC→+CF→

=a+23CD→

=a+13(b-a)

=23a+13b.

12.证明如图所示，平行六面体ABCD—A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，

则AO→=12AC′→

=12(AB→+AD→+AA′→).

设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点.

则AP→=AB→+BP→=AB→+12BD′→

=AB→+12(BA→+BC→+BB′→)

=AB→+12(-AB→+AD→+AA′→)

=12(AB→+AD→+AA′→).

同理可证：AM→=12(AB→+AD→+AA′→)

AN→=12(AB→+AD→+AA′→).

由此可知O，P，M，N四点重合.

故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分.

高三数学寒假作业答案

1.①

2.f(x0+Δx)-f(x0)

3.4+2Δx

解析Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-2×12+1=4Δx+2(Δx)2，

∴ΔyΔx=4Δx+2(Δx)2Δx=4+2Δx.

4.s(t+Δt)-s(t)Δt

解析由平均速度的定义可知，物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比.

所以v=ΔsΔt=s(t+Δt)-s(t)Δt.

5.-1

解析ΔyΔx=f(3)-f(1)3-1=1-32=-1.

6.0.41

7.1

解析由平均变化率的几何意义知k=2-11-0=1.

8.4.1

解析质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由ΔsΔt求得，即v=ΔsΔt=s(2.1)-s(2)0.1=4.1.

9.解函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率为：

f(-1)-f(-3)(-1)-(-3)

=[(-1)2-2×(-1)]-[(-3)2-2×(-3)]2=-6.

函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：

f(4)-f(2)4-2=(42-2×4)-(22-2×2)2=4.

10.解∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1

=3Δx+3(Δx)2+(Δx)3，

∴割线PQ的斜率

ΔyΔx=(Δx)3+3(Δx)2+3ΔxΔx=(Δx)2+3Δx+3.

当Δx=0.1时，割线PQ的斜率为k，

则k=ΔyΔx=(0.1)2+3×0.1+3=3.31.

∴当Δx=0.1时割线的斜率为3.31.

11.解乙跑的快.因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小.

12.解函数f(x)在[0，a]上的平均变化率为

f(a)-f(0)a-0=a2+2aa=a+2.

函数g(x)在[2,3]上的平均变化率为

g(3)-g(2)3-2=(2×3-3)-(2×2-3)1=2.

∵a+2=2×2，∴a=2.

高三数学寒假练习题答案

一、选择题

1.在△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是()

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

答案D

2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是()

A.直角三角形B.等边三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

答案B

解析由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，

∴tanA=tanB=tanC，∴A=B=C.

3.在△ABC中，sinA=34，a=10，则边长c的取值范围是()

A.152，+∞B.(10，+∞)

C.(0,10)D.0，403

答案D

解析∵csinC=asinA=403，∴c=403sinC.

∴0

4.在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形一定是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

答案A

解析由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，

∴sin(B+C)=2sinBcosC，

∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，

∴sin(B-C)=0，∴B=C.

5.在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()

A.6∶5∶4B.7∶5∶3

C.3∶5∶7D.4∶5∶6

答案B

解析∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，

∴b+c4=c+a5=a+b6.

令b+c4=c+a5=a+b6=k(k>0)，

则b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k.

∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.

6.已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为()

A.1B.2

C.12D.4

答案A

解析设三角形外接圆半径为R，则由πR2=π，

得R=1，由S△=12absinC=abc4R=abc4=14，∴abc=1.

二、填空题

7.在△ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，则b=________.

答案23

解析∵cosC=13，∴sinC=223，

∴12absinC=43，∴b=23.

8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60°，a=3，b=1，则c=________.

答案2

解析由正弦定理asinA=bsinB，得3sin60°=1sinB，

∴sinB=12，故B=30°或150°.由a>b，

得A>B，∴B=30°，故C=90°，

由勾股定理得c=2.

9.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA+b2sinB+2csinC=________.

答案7

解析∵△ABC的外接圆直径为2R=2，

∴asinA=bsinB=csinC=2R=2，

∴asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.

10.在△ABC中，A=60°，a=63，b=12，S△ABC=183，则a+b+csinA+sinB+sinC=________，c=________.

答案126

解析a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.

∵S△ABC=12absinC=12×63×12sinC=183，

∴sinC=12，∴csinC=asinA=12，∴c=6.

三、解答题

11.在△ABC中，求证：a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

证明因为在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，

所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA

=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.

所以等式成立，即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

12.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.

解设三角形外接圆半径为R，则a2tanB=b2tanA

?a2sinBcosB=b2sinAcosA

?4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA

?sinAcosA=sinBcosB

?sin2A=sin2B

?2A=2B或2A+2B=π

?A=B或A+B=π2.

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

能力提升

13.在△ABC中，B=60°，边与最小边之比为(3+1)∶2，则角为()

A.45°B.60°C.75°D.90°

答案C

解析设C为角，则A为最小角，则A+C=120°，

∴sinCsinA=sin120°-AsinA

=sin120°cosA-cos120°sinAsinA

=32tanA+12=3+12=32+12，

∴tanA=1，A=45°，C=75°.

14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=2，C=π4，

cosB2=255，求△ABC的面积S.

解cosB=2cos2B2-1=35，

故B为锐角，sinB=45.

所以sinA=sin(π-B-C)=sin3π4-B=7210.

由正弦定理得c=asinCsinA=107，

所以S△ABC=12acsinB=12×2×107×45=87.

1.在△ABC中，有以下结论：

(1)A+B+C=π;

(2)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC;

(3)A+B2+C2=π2;

(4)sinA+B2=cosC2，cosA+B2=sinC2，tanA+B2=1tanC2.

2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.