高三数学期末专题复习归纳大全

孙小飞老师

高三数学复习试题

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A={-1,0,1}, ,则AB等于

A. {1} B. {-1,1} C. {1,0} D. {-1,0,1}

2. 如是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方,若80分以上为优秀,根据形信息可知:

这次考试的优秀率为

A. B. C. D.

3.给出如下四个命题:

①若 且 为假命题,则 、 均为假命题;

②命题若 ,则 的否命题为若 ,则

③ 的否定是

④若 ,则 . 其中不正确的 命题的个数是

A.4 B.3 C.2 D.1

4. 三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为2的等边三角形.若三棱柱的正视(如所示)的面积为8,则侧视的面积为

A. 8 B. 4 C. D.

5. 已知平面向量 、 为三个单位向量,且 . 满足 ( ),则x+y的最大值为

A.1 B. C. D.2

6. 设F是抛物线C1:y2=2px(p0)的焦点,点A是抛物线与双曲线C2: 0,b0)的一条渐近线的一个公共点,且AFx轴,则双曲线的离心率为

A. B. C. D. 2

7.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R=R(x)= 则总利润最大时,每年生 产的产品数是

A.100 B.150 C.200 D.300

8.设 ,若 恒成立,则k的最大值为

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.

(一)必做题(9 ~ 13题)

9.计算: =__________.

10. 已知cos 31=m,则sin 239tan 149的值是________

11. 若 满足不等式组 时,恒有 ,则k的取值范围是___ .

12. 在1,2,3,4,5,6,7的任一排列 中,使相邻两数都互质的排列方式共有________种.(用数字作答)

13. 设M1(0,0),M2(1,0),以M1为圆心,| M1 M2 | 为半径作圆交x轴于点M3 (不同于M2),记作⊙M1;以M2为圆心,| M2 M3 | 为半径作圆交x轴于点M4 (不同于M3),记作⊙M2;

以Mn为圆心,| Mn Mn+1 | 为半径作圆交x轴于点Mn+2 (不同于Mn+1),记作⊙Mn;

当nN_时,过原点作倾斜角为30的直线与⊙Mn交于An,Bn.考察下列论断:

当n=1时,| A1B1 |=2;

当n=2时,| A2B2 |= ;

当n=3时,| A3B3 |= ;

当n=4时,| A4B4 |= ;

由以上论断推测一个一般的结论:对于nN_,| AnBn |= .

(二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题)

14. (坐标系与参数方程选做题)直线 与直线 平行,则直线 的斜率为 .

14.. (几何证明选讲选做题)如,在△ABC中,AB=AC,以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D,切线DEAC, 垂足为点E.则 _______________.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分)

若 的像与直线 相切,并且切点横坐标依次成公差为 的等差数列.

(1)求 和 的值;

(2)在⊿ABC中,a、b、c分别是A、B、C的对边。若 是函数 象的一个对称中心,且a=4,求⊿ABC外接圆的面积。

17. (本小题满分12分)

某地农民种植A种蔬菜,每亩每年生产成本为7000元,A种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响,预计明年雨水正常的概率为 ,雨水偏少的概率为 . 若雨水正常,A种蔬菜每亩产量为2000公斤,单价为6元/公斤的概率为 ,单价为3元/公斤的概率为 ; 若雨水偏少,A种蔬菜每亩产量为1500公斤,单价为6元/公斤的概率为 ,单价为3元/公斤的概率为 .

(1) 计算明年农民种植A种蔬菜不亏本的概率;

(2)在政府引导下,计划明年采取公司加农户,订单农业的生产模式,某公司未来不增加农民生产成本,给农民投资建立大棚,建立大棚后,产量不受天气影响,因此每亩产量为2500公斤,农民生产的A种蔬菜全部由公司收购,为保证农民的每亩预期收入增加1000元,收购价格至少为多少?

18.(本小题满分14分) 如,已知△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC平面ABC,AB=2,tanEAB=

(1) 证明:平面ACD平面ADE;

(2) 当 AC=x时, V(x)表示三棱锥A-CBE的体积,当V(x)取得最大值时,求直线AD与平面ACE所成角的正弦值。

19.(本题满分14分)已知:函数 在点(0, )处的切线与x-y-1=0平行, 且g(2)= ,若 为g(x)的导函数,设函数 .

(1)求 、 的值及函数 的解析式;

(2)如果关于 的方程 有三个相异的实数根,求实数 的取值范围.

20(本题满分14分)

已知椭圆 和圆 ,过椭圆上一点 引圆 的两条切线,切点分别为 .

(1)(ⅰ)若圆 过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率 的值;

(ⅱ)若椭圆上存在点 ,使得 ,求椭圆离心率 的取值范围;

(2)设直线 与 轴、 轴分别交于点 ,问当点P在椭圆上运动时, 是否为定值?请证明你的结论.

21.(本题满分14分)

设二次函数 ,对任意实数 ,有 恒成立;数列 满足 .

(1)求函数 的解析式和值域;

(2)试写出一个区间 ,使得当 时,数列 在这个区间上是递增数列,并说明理由;

(3)已知 ,是否存在非零整数 ,使得对任意 ,都有恒成立,若存在,求之;若不存在,说明理由

高三数学复习模拟试题

一、选择题:(8小题,每小题5分,共40分)

1.tan(-990°)=( )

A.0 B. C. D.不存在

2. 在一次运动员的选拔中,测得到7名选手身高(单位:cm)分布的茎叶图如图.已知记录的平均身高为174cm,但有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数记为x,那么x的值为 ( )

A.5 B.6 C.7 D.8

3.一几何体的正视图和侧视是全等的等腰梯形,上下底边长分别为2和4,腰长为 ,俯视图为二个同心圆,则该几何体的体积为( )

A.14π B. C. D.

4.定义:适合条件a>b的复数a+bi (a,b∈R)称为“实大复数”,若复数 为“实大复数”,则实数a的取值范围是( )

A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.[0,+∞) D.(2,+∞)

5.在数列{an}中,a1=1,数列{anan+2}是以3为公比的等比数列,则log3a2011等于( )

A.1003 B.1004 C.1005 D.1006

6.某通信公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定007,后四位从“0000”到“9999”共10000个号码,公司规定:凡卡号的后四位带数字“4”或“7”的一律作为“优惠”卡来销售,则这组号码中“优惠卡”的个数为( )

A.2000 B.4096 C.5904 D.8320

7.设双曲线 (a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过点F2的直线交双曲线右支于点M、N,若 =0, = ,则该双曲线的离心率为( )

A. B. C. D.

8.若函数y=f(x) (x∈R)满足f(x+1)+f(x)=1,当x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)= ,则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内的零点的个数为( )

A.9 B.11 C.13 D.14

二、填空题:(7小题,每小题5分,共35分)

9.已知随机变量X~N(2,σ2)(σ>0),若X在(0,2)内取值的概率为0.3,则X在(4,+∞)内的概率为 。

10.当a=1,b=3时执行完右边这段程序后x的值是 。

11.已知函数f(x)=|x-k|+|x-2k|,若对任意的x∈R,f(x)≥f(3)=f(4)都成立,则k的取值范围为 。

12.已知函数 的定义域是非零实数,且在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,则最小的自然数a等于 。

13.已知:如下图,⊙O与⊙P相交于A、B两点,点P在⊙O上,⊙O的弦BC切⊙P于点B,CP及其延长线交⊙P于D、E两点,过点E作EF⊥CD交CB延长线于点F,若CD=2,CB=2 ,则CE= ,EF= 。007

14.已知点O在△ABC内部,且满足 ,向△ABC内任抛一点M,则点M落在△AOC内的概率为 。

15.某资料室在计算机使用中,如下表所示以一定规则排列的编码,且从左至右以及从上到下都是无限的,此表中,主对角线上数列1,2,5,10,17,…的通项公式为 ,编码100共出现 次。

三、解答题:(6小题,第16,17,18题每题12分,第19,20,21题每题13分,共75分)

16.已知函数f(x)=sinx+cosx,f `(x)是f(x)的导函数。

⑴ 求函数F(x)=f(x)f`(x)+[f(x)]2的最大值和最小正周期;

⑵ 若f(x)=2f`(x),求 的值。

17.某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩分成六段[40,50)、[50,60)、…、[90,100]后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:

⑴求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;

⑵统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;

⑶若从60名学生中随抽取2人,抽到的学生成绩在[40,60)记0分,在[60,80)记1分,在[80,100]记2分,用ξ表示抽取结束后的总记分,求ξ的分布列和数学期望。

18.如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形,点E在底面圆周上,点F在DE上,且AF⊥DE,若圆柱的侧面积与△ABE的面积之比等于4π. 007

(Ⅰ)求证:AF⊥BD;

(Ⅱ)求二面角A―BD―E的正弦值.

19.某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动,若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元,则农民购买电视机获得的补贴分别为 万元(m>0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机,且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元.

(1)请你选择自变量,将这次活动中农民得到的`总补贴表示为它的函数,并求其定义域;

(2)求当投放B型电视机的金额为多少万元时,农民得到的总补贴最大?

20.在直角坐标系xOy中,椭圆C1: 的左、右焦点分别为F1、F2,其中右焦点F2也是抛物线C2:y2 = 4x的焦点,点M为C1与C2在第一象限的交点,且|MF2| = .

(1)求椭圆C1的方程;

(2)设 ,是否存在斜率为k (k≠0)的直线l与椭圆C1交于A、B两点,且|AE| = |BE|?若存在,求k的取值范围;若不存在,请说明理由.

21.已知 ,其中x∈R, 为参数,且0≤ ≤ 。

(1)当cos =0时,判断函数 是否有极值;

(2)要使函数 的极小值大于零,求参数 的取值范围;

(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 ,函数 在区间(2a – 1, a)内都是增函数,求实数a的取值范围。

高考数学专项复习试题

一、选择题

1.若点P是两条异面直线l,m外的任意一点,则(  )

A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行

B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直

C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交

D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面

答案:B 命题立意:本题考查异面直线的几何性质,难度较小.

解题思路:因为点P是两条异面直线l,m外的任意一点,则过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直,故选B.

2.如图,P是正方形ABCD外一点,且PA平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(  )

A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直

B.它们两两垂直

C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直

D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直

答案:A 解题思路: DA⊥AB,DAPA,AB∩PA=A,DA⊥平面PAB,又DA平面PAD, 平面PAD平面PAB.同理可证平面PAB平面PBC.把四棱锥P-ABCD放在长方体中,并把平面PBC补全为平面PBCD1,把平面PAD补全为平面PADD1,易知CD1D即为两个平面所成二面角的平面角,CD1D=APB,CD1D<90°,故平面PAD与平面PBC不垂直.

3.设α,β分别为两个不同的平面,直线lα,则“lβ”是“αβ”成立的(  )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案:A 命题立意:本题主要考查空间线面、面面位置关系的判定与充分必要条件的判断,意在考查考生的逻辑推理能力.

解题思路:依题意,由lβ,lα可以推出αβ;反过来,由αβ,lα不能推出lβ.因此“lβ”是“αβ”成立的充分不必要条件,故选A.

4.若m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,则下列结论正确的是(  )

A.若m,n都平行于平面α,则m,n一定不是相交直线

B.若m,n都垂直于平面α,则m,n一定是平行直线

C.已知α,β互相垂直,m,n互相垂直,若mα,则nβ

D.m,n在平面α内的射影互相垂直,则m,n互相垂直

答案:B 解题思路:本题考查了空间中线面的平行及垂直关系.在A中:因为平行于同一平面的两直线可以平行,相交,异面,故A为假命题;在B中:因为垂直于同一平面的两直线平行,故B为真命题;在C中:n可以平行于β,也可以在β内,也可以与β相交,故C为假命题;在D中:m,n也可以不互相垂直,故D为假命题.故选B.

5.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动,另一端点N在正方形ABCD内运动,则MN的中点的轨迹的面积为(  )

A.4π B.2π

C.π D.-π

答案:D 解题思路:本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.如图可知,端点N在正方形ABCD内运动,连接ND,由ND,DM,MN构成一个直角三角形,设P为NM的中点,根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得,不论MDN如何变化,点P到点D的距离始终等于1.故点P的轨迹是一个以D为中心,半径为1的球的球面,其面积为.

技巧点拨:探求以空间图形为背景的轨迹问题,要善于把立体几何问题转化到平面上,再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解,实现立体几何到解析几何的过渡.

6.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:

直线BE与直线CF是异面直线;直线BE与直线AF是异面直线;直线EF平面PBC;平面BCE平面PAD.

其中正确结论的序号是(  )

A.1 B.1

C. 3D.4

答案:B 解题思路:本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.画出几何体的图形,如图,由题意可知,直线BE与直线CF是异面直线,不正确,因为E,F分别是PA与PD的中点,可知EFAD,所以EFBC,直线BE与直线CF是共面直线;直线BE与直线AF是异面直线,满足异面直线的定义,正确;直线EF平面PBC,由E,F是PA与PD的中点,可知EFAD,所以EFBC,因为EF平面PBC,BC平面PBC,所以判断是正确的;由题中条件不能判定平面BCE平面PAD,故不正确.故选B.

技巧点拨:翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来,然后考查立体几何的常见问题:垂直、角度、距离、应用等问题.此类问题考查学生从二维到三维的升维能力,考查学生空间想象能力.解决该问题时,不仅要知道空间立体几何的有关概念,还要注意到在翻折的过程中哪些量是不变的,哪些量是变化的.

二、填空题

7.如图,四边形ABCD为菱形,四边形CEFB为正方形,平面ABCD平面CEFB,CE=1,AED=30°,则异面直线BC与AE所成角的大小为________.

答案:45° 解题思路:因为BCAD,所以EAD就是异面直线BC与AE所成的角.

因为平面ABCD平面CEFB,且ECCB,

所以EC平面ABCD.

在RtECD中,EC=1,CD=1,故ED==.

在AED中,AED=30°,AD=1,由正弦定理可得=,即sin EAD===.

又因为EAD∈(0°,90°),所以EAD=45°.

故异面直线BC与AE所成的角为45°.

8.给出命题:

异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线;

两异面直线a,b,如果a平行于平面α,那么b不平行于平面α;

两异面直线a,b,如果a平面α,那么b不垂直于平面α;

两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线.

上述命题中,真命题的序号是________.

答案: 解题思路:本题考查了空间几何体中的点、线、面之间的关系.根据异面直线的定义知:异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线,故命题为真命题;两条异面直线可以平行于同一个平面,故命题为假命题;若bα,则ab,即a,b共面,这与a,b为异面直线矛盾,故命题为真命题;两条异面直线在同一个平面内的射影可以是:两条平行直线、两条相交直线、一点一直线,故命题为假命题.

9.如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥.已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上,则该正六棱锥的体积的最大值为________.

答案:16 命题立意:本题以球的内接组合体问题引出,综合考查了棱锥体积公式、利用导数工具处理函数最值的方法,同时也有效地考查了考生的运算求解能力和数学建模能力.

解题思路:设球心到底面的距离为x,则底面边长为,高为x+3,正六棱锥的体积V=_(9-x2)_6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27),其中0≤x<3,则V′=(-3x2-6x+9)=0,令x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3(舍),故Vmax=V(1)=(-1-3+9+27)=16.

10.已知三棱锥P-ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上,球心O在AB上,PO平面ABC,=,则三棱锥与球的体积之比为________.

答案: 命题立意:本题主要考查线面垂直、三棱锥与球的体积计算方法,意在考查考生的空间想象能力与基本运算能力.

解题思路:依题意,AB=2R,又=,ACB=90°,因此AC=R,BC=R,三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=PO·SABC=_R__R_R=R3.而球的体积V球=R3,因此VP-ABCV球=R3R3=.

三、解答题

11.如图,四边形ABCD与A′ABB′都是正方形,点E是A′A的中点,A′A平面ABCD.

(1)求证:A′C平面BDE;

(2)求证:平面A′AC平面BDE.

解题探究:第一问通过三角形的中位线证明出线线平行,从而证明出线面平行;第二问由A′A与平面ABCD垂直得到线线垂直,再由线线垂直证明出BD与平面A′AC垂直,从而得到平面与平面垂直.

解析:(1)设AC交BD于M,连接ME.

四边形ABCD是正方形,

M为AC的中点.

又 E为A′A的中点,

ME为A′AC的'中位线,

ME∥A′C.

又 ME?平面BDE,

A′C?平面BDE,

A′C∥平面BDE.

(2)∵ 四边形ABCD为正方形, BD⊥AC.

∵ A′A⊥平面ABCD,BD平面ABCD,

A′A⊥BD.

又AC∩A′A=A, BD⊥平面A′AC.

BD?平面BDE,

平面A′AC平面BDE.

12.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,ADDC,ABDC.

(1)求证:D1CAC1;

(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E平面A1BD,并说明理由.

命题立意:本题主要考查空间几何体中的平行与垂直的判定,考查考生的空间想象能力和推理论证能力.通过已知条件中的线线垂直关系和线面垂直的判定证明线面垂直,从而证明线线的垂直关系.并通过线段的长度关系,借助题目中线段的中点和三角形的中位线寻找出线线平行,证明出线面的平行关系.解决本题的关键是学会作图、转化、构造.

解析:(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接C1D, DC=DD1,

四边形DCC1D1是正方形,

DC1⊥D1C.

又ADDC,ADDD1,DC∩DD1=D,

AD⊥平面DCC1D1,

又D1C平面DCC1D1,

AD⊥D1C.

∵ AD?平面ADC1,DC1平面ADC1,

且AD∩DC1=D,

D1C⊥平面ADC1,

又AC1平面ADC1,

D1C⊥AC1.

(1)题图

(2)题图

(2)连接AD1,AE,D1E,设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连接MN.

平面AD1E∩平面A1BD=MN,

要使D1E平面A1BD,

可使MND1E,又M是AD1的中点,

则N是AE的中点.

又易知ABN≌△EDN,

AB=DE.

即E是DC的中点.

综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E平面A1BD.

13.已知直三棱柱ABC-A′B′C′满足BAC=90°,AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.

(1)证明:MN平面A′ACC′;

(2)求三棱锥C-MNB的体积.

命题立意:本题主要考查空间线面位置关系、三棱锥的体积等基础知识.意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

解析:(1)证明:如图,连接AB′,AC′,

四边形ABB′A′为矩形,M为A′B的中点,

AB′与A′B交于点M,且M为AB′的中点,又点N为B′C′的中点.

MN∥AC′.

又MN平面A′ACC′且AC′平面A′ACC′,

MN∥平面A′ACC′.

(2)由图可知VC-MNB=VM-BCN,

BAC=90°, BC==2,

又三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,且AA′=4,

S△BCN=_2_4=4.

A′B′=A′C′=2,BAC=90°,点N为B′C′的中点,

A′N⊥B′C′,A′N=.

又BB′⊥平面A′B′C′,

A′N⊥BB′,

A′N⊥平面BCN.

又M为A′B的中点,

M到平面BCN的距离为,

VC-MNB=VM-BCN=_4_=.

14.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,ABDC,PAD是等边三角形,BD=2AD=8,AB=2DC=4.

(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD;

(2)求四棱锥P-ABCD的体积.

命题立意:本题主要考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积的计算等,意在考查考生的逻辑推理能力与计算能力,考查化归与转化思想.

解析:(1)证明:在ABD中,因为AD=4,BD=8,AB=4,所以AD2+BD2=AB2.

故ADBD.

又平面PAD平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD平面ABCD,

所以BD平面PAD,

又BD平面MBD,

所以平面MBD平面PAD.

(2)过点P作OPAD交AD于点O,

因为平面PAD平面ABCD,

所以PO平面ABCD.

因此PO为四棱锥P-ABCD的高.

又PAD是边长为4的等边三角形,

所以PO=_4=2.

在四边形ABCD中,ABDC,AB=2DC,

所以四边形ABCD是梯形.

在Rt△ADB中,斜边AB上的高为=,此即为梯形ABCD的高.

所以四边形ABCD的面积S=_=24.

故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=_24_2=16.