高一数学教案集合之间的关系1
教学过程:
一、引入课题
1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填以下空白:
(1)0 N;(2) $2$2$2$2$2$2$2$2$2$2$2$2$2$2$2 Q;(3)-1.5 R
2、类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢?(宣布课题)
二、新课教学
(一) 集合与集合之间的“包含”关系;
A={1,2,3},B={1,2,3,4}
集合A是集合B的部分元素构成的集合,我们说集合B包含集合A;
如果集合A的.任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集(subset)。
记作: $2
$2$2
读作:A包含于(is contained in)B,或B包含(contains)A
当集合A不包含于集合B时,记作A B
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系
B
A
$2
(二) 集合与集合之间的 “相等”关系;
$2,则 $2中的元素是一样的,因此 $2
即 $2
练习
结论:
任何一个集合是它本身的子集
(三) 真子集的概念
若集合 $2,存在元素 $2,则称集合A是集合B的真子集(proper subset)。
记作:A $2 B(或B $2$2$2A)
读作:A真包含于B(或B真包含A)
举例(由学生举例,共同辨析)
(四) 空集的概念
(实例引入空集概念)
不含有任何元素的集合称为空集(empty set),记作: $2
规定:
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
(五) 结论:
1 $2 2 $2,且 $2,则 $2
(六) 例题
(1)写出集合{a,b}的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集。
(2)化简集合A={x|x-3>2},B={x|x $25},并表示A、B的关系;
(七) 课堂练习
(八) 归纳小结,强化思想
两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小关系,同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法;
(九) 作业布置
1、书面作业:习题1.1 第5题
2、提高作业:
1 已知集合 $2, $2≥ $2,且满足 $2,求实数 $2的取值范围。
2 设集合 $2,
$2,试用Venn图表示它们之间的关系。
板书设计(略)
高一数学教案集合之间的关系2
教学过程:
1.引入
(1)章头导言
(2)集合论与集合论的创始者-----康托尔(有关介绍可引用附录中的内容)
2.讲授新课
阅读教材,并思考下列问题:
(1)有那些概念?
(2)有那些符号?
(3)集合中元素的.特性是什么?
(4)如何给集合分类?
(一)有关概念:
1、集合的概念
(1)对象:我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号,都可以称作对象.
(2)集合:把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.
(3)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素.
集合通常用大写的拉丁字母表示,如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示,如a、b、c、……
2、元素与集合的关系
(1)属于: 如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A
(2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作
要注意“∈”的方向,不能把a∈A颠倒过来写.
3、集合中元素的特性
(1)确定性:给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.
(2)互异性:集合中的元素一定是不同的.
(3)无序性:集合中的元素没有固定的顺序.
4、集合分类
根据集合所含元素个属不同,可把集合分为如下几类:
(1)把不含任何元素的集合叫做空集Ф
(2)含有有限个元素的集合叫做有限集
(3)含有无穷个元素的集合叫做无限集
注:应区分符号的含义
5、常用数集及其表示方法
(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合.记 作N
(2)正整数集:非负整数集内排除0的集.记作N- 或N+
(3)整数集:全体整数的集合.记作Z
(4)有理数集:全体有理数的集合.记作Q
(5)实数集:全体实数的集合.记作R
注:(1)自然数集包括数0.
(2)非负整数集内排除0的集.记作N-或N+,Q、Z、R等其它数集内排除0的集,也这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z-
课堂练习:教材第5页练习A、B
小结:本节课 我们了解集合论的发展,学习了集合的概念及有关性质
课后作业:第十页习题1-1B第3题
高一数学教案集合之间的关系3
教学过程:
一、复习引入:
1.回忆集合的概念
2.集合中元素有那些性质?
3.空集、有限集和无 限集的概念
二、讲述新课:
集合的表示方法
1、大写的字母表示集合
2、列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法.
例如,24所有正约数构成的 集合可以表示为{1,2,3,4 ,6,8,12,24}
注:
(1)大括号不能缺失.
(2)有些集合种元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的'情况下,亦可如下表示:从1到100的所有整数组成的集合:{1,2,3,…,100}
自然数集N:{1,2,3,4,…,n,…}
(3)区分a与{a} :{a}表示一个集合,该集合只有一个元素.a表示这个集合的一个元素.
(4)用列举法表示集合时不必考虑元素的前后 次序.相同的元素不能出现两次.
3、特征性质描述法:
在 集合I中,属于集合A的任意元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质,于是集合A可以表示如下:
{x∈I|p(x)}
例如,不等式 的解集可以表示为: 或 ,
所有直角三角形的集合可以表示为: 注:(1)在不致混淆的情况下,也可以写成:{直角三角形};{大于104的实数}
(2)注意区别:实数集,{实数集}.
4、文氏图:用一条封闭的曲线的内部来表示一 个集合.
例1:集合 与集合 是同一个集合 吗?
答:不是.
集合 是点集,集合 = 是数集。
例2:(教材第7页例1)
例3:(教材第7页例2)
课堂练习:
(1)教材第8页练习A、B
(2)习题1-1A: 1,2,3
小结:
本节课学习了集合的表示方法(字母表示、列举法、描述法、文氏图共4种)
课后作业: 1,2
高一数学教案集合之间的关系4
教学目的:
(1)使学生初步理解集合的概念,知道常用数集的概念及记法
(2)使学生初步了解属于关系的意义
(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
教学重点:集合的基本概念及表示方法
教学难点:运用集合的两种常用表示方法列举法与描述法,正确表示一些简单的集合
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
1.集合是中学数学的一个重要的基本概念 在小学数学中,就渗透了集合的初步概念,到了初中,更进一步应用集合的语言表述一些问题 例如,在代数中用到的有数集、解集等;在几何中用到的有点集 至于逻辑,可以说,从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用,基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中,也是认识问题、研究问题不可缺少的工具 这些可以帮助学生认识学习本章的意义,也是本章学习的基础
把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始,是因为在高中数学中,这些知识与其他内容有着密切联系,它们是学习、掌握和使用数学语言的基础 例如,下一章讲函数的概念与性质,就离不开集合与逻辑
本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手,引出集合与集合的元素的概念,并且结合实例对集合的概念作了说明 然后,介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法,还给出了画图表示集合的例子
这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念 学习引言是引发学生的学习兴趣,使学生认识学习本章的意义 本节课的教学重点是集合的基本概念
集合是集合论中的原始的、不定义的概念 在开始接触集合的概念时,主要还是通过实例,对概念有一个初步认识 教科书给出的一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集 这句话,只是对集合概念的描述性说明
教学过程:
一、复习引入:
1.简介数集的发展,复习最大公约数和最小公倍数,质数与和数;
2.教材中的章头引言;
3.集合论的创始人康托尔(德国数学家)(见附录);
4.物以类聚,人以群分
5.教材中例子(P4)
二、讲解新课:
阅读教材第一部分,问题如下:
(1)有那些概念?是如何定义的?
(2)有那些符号?是如何表示的?
(3)集合中元素的特性是什么?
(一)集合的有关概念:
由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说,每一组对象的全体形成一个集合,或者说,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
定义:一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合.
1、集合的概念
(1)集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合(简称集)
(2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素
2、常用数集及记法
(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合 记作N,
(2)正整数集:非负整数集内排除0的集 记作N-或N+
(3)整数集:全体整数的集合 记作Z ,
(4)有理数集:全体有理数的集合 记作Q ,
(5)实数集:全体实数的集合 记作R
注:(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0
(2)非负整数集内排除0的集 记作N-或N+ Q、Z、R等其它
数集内排除0的集,也是这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z-
3、元素对于集合的隶属关系
(1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作aA
(2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作
4、集合中元素的特性
(1)确定性:按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里,或者不在,不能模棱两可。
(2)互异性:集合中的元素没有重复
(3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)
5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示,如A、B、C、P、Q
元素通常用小写的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q
⑵的开口方向,不能把aA颠倒过来写
三、练习题:
1、教材P5练习1、2
2、下列各组对象能确定一个集合吗?
(1)所有很大的实数 (不确定)
(2)好心的人 (不确定)
(3)1,2,2,3,4,5.(有重复)
3、设a,b是非零实数,那么 可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__
4、由实数x,-x,|x|, 所组成的集合,最多含( A )
(A)2个元素 (B)3个元素 (C)4个元素 (D)5个元素
5、设集合G中的元素是所有形如a+b (aZ, bZ)的数,求证:
(1) 当xN时, x
(2) 若xG,yG,则x+yG,而 不一定属于集合G
证明(1):在a+b (aZ, bZ)中,令a=xN,b=0,
则x= x+0- = a+b G,即xG
证明(2):∵xG,yG,
x= a+b (aZ, bZ),y= c+d (cZ, dZ)
x+y=( a+b )+( c+d )=(a+c)+(b+d)
∵aZ, bZ,cZ, dZ
(a+c) Z, (b+d) Z
x+y =(a+c)+(b+d) G,
又∵ =
且 不一定都是整数,
= 不一定属于集合G
四、小结:本节课学习了以下内容:
1.集合的有关概念:(集合、元素、属于、不属于)
2.集合元素的性质:确定性,互异性,无序性
3.常用数集的定义及记法
高一数学教案集合之间的关系5
一般数列的通项求法
一般有:
an=Sn-Sn-1 (n≥2)
累和法(an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an)。
逐商全乘法(对于后一项与前一项商中含有未知数的数列)。
化归法(将数列变形,使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列)。
特别的:
在等差数列中,总有Sn S2n-Sn S3n-S2n
2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列
不动点法(常用于分式的通项递推关系)
特殊数列的通项的写法
1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n
1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n
2,4,6,8,10,12,14.......-------an=2n
1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1
-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n
1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)
1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2
1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2
9,99,999,9999,99999,......... ------an=(10^n)-1
1,11,111,1111,11111.......--------an=[(10^n)-1]/9
1,4,9,16,25,36,49,.......------an=n^2
1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)
数列前N项和公式的求法
(一)1.等差数列:
通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数
an=ak+(n-k)d ak为第k项数
若a,A,b构成等差数列 则A=(a+b)/2
2.等差数列前n项和:
设等差数列的前n项和为Sn
即Sn=a1+a2+...+an;
那么Sn=na1+n(n-1)d/2
=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n
还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法3 倒序相加法
(二)1.等比数列:
通项公式an=a1-q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项
an=a1-q^(n-1),am=a1-q^(m-1)
则an/am=q^(n-m)
(1)an=am-q^(n-m)
(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0)
(3)若m+n=p+q 则am×an=ap×aq
2.等比数列前n项和
设a1,a2,a3...an构成等比数列
前n项和Sn=a1+a2+a3...an
Sn=a1+a1-q+a1-q^2+....a1-q^(n-2)+a1-q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an-q)/(1-q);
注: q不等于1;
Sn=na1 注:q=1
求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法(即数学归纳法)2 累乘法3 错位相减法 4 倒序求和法5 裂项相消法
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