数学高中必修四知识点必看

刘莉莉老师

高一数学下册必修四知识点

平面向量

16、向量:既有大小,又有方向的量.数量:只有大小,没有方向的量.有向线段的三要素:起点、方向、长度.零向量:长度为0的向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.

相等向量:长度相等且方向相同的向量.

17、向量加法运算:

⑴三角形法则的特点:首尾相连.⑵平行四边形法则的特点:共起点.

C

⑶三角形不等式:ababab.

⑷运算性质:①交换律:abba;

abcabc②结合律:;③a00aa.

a

b

abCC

4

⑸坐标运算:设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2.

18、向量减法运算:

⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.

⑵坐标运算:设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2.

设、两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2,则x1x2,y1y2.

19、向量数乘运算:

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a.①

aa;

②当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反;当0时,a0.

⑵运算律:①aa;②aaa;③abab.

⑶坐标运算:设ax,y,则ax,yx,y.

20、向量共线定理:向量aa0与b共线,当且仅当有一个实数,使ba.

设ax1,y1,bx2,y2,其中b0,则当且仅当x1y2x2y10时,向量a、bb0共线.

21、平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有

且只有一对实数1、2,使a1e12e2.(不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底)22、分点坐标公式:设点是线段12上的一点,1、2的坐标分别是x1,y1,x2,y2,当12时,

点的坐标是

x1x2y1y2

时,就为中点公式。)(当1,.

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23、平面向量的数量积:

⑴ababcosa0,b0,0180.零向量与任一向量的数量积为0.

⑵性质:设a和b都是非零向量,则①abab0.②当a与b同向时,abab;当a与b反向

2

时,abab;aaaa或a.③abab.

2

⑶运算律:①abba;②ababab;③abcacbc.

⑷坐标运算:设两个非零向量ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2y1y2.

222

若ax,y,则axy,

或a设ax1,y1,则abx-x12yy12bx2,y2,

0.

5

高三数学必修四知识点

立体几何初步

(1)棱柱:

定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱

几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示:用各顶点字母,如五棱锥

几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台:

定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示:用各顶点字母,如五棱台

几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱:

定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥:

定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台:

定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分

几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体:

定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

高一数学必修四线性回归分析知识点

重点难点讲解:

1.回归分析:

就是对具有相关关系的两个变量之间的关系形式进行测定,确定一个相关的数学表达式,以便进行估计预测的统计分析方法。根据回归分析方法得出的数学表达式称为回归方程,它可能是直线,也可能是曲线。

2.线性回归方程

设x与y是具有相关关系的两个变量,且相应于n组观测值的n个点(xi,yi)(i=1,......,n)大致分布在一条直线的附近,则回归直线的方程为。

其中。

3.线性相关性检验

线性相关性检验是一种假设检验,它给出了一个具体检验y与x之间线性相关与否的办法。

①在课本附表3中查出与显著性水平0.05与自由度n-2(n为观测值组数)相应的相关系数临界值r0.05。

②由公式,计算r的值。

③检验所得结果

如果|r|≤r0.05,可以认为y与x之间的线性相关关系不显著,接受统计假设。

如果|r|>r0.05,可以认为y与x之间不具有线性相关关系的假设是不成立的,即y与x之间具有线性相关关系。

典型例题讲解:

例1.从某班50名学生中随机抽取10名,测得其数学考试成绩与物理考试成绩资料如表:序号12345678910数学成绩54666876788285879094,物理成绩61806286847685828896试建立该10名学生的物理成绩对数学成绩的线性回归模型。

解:设数学成绩为x,物理成绩为,则可设所求线性回归模型为,

计算,代入公式得∴所求线性回归模型为=0.74x+22.28。

说明:将自变量x的值分别代入上述回归模型中,即可得到相应的因变量的估计值,由回归模型知:数学成绩每增加1分,物理成绩平均增加0.74分。大家可以在老师的帮助下对自己班的数学、化学成绩进行分析。

例2.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元),有如下的统计资料:x23456y2.23.85.56.57.0

若由资料可知y对x成线性相关关系。试求:

(1)线性回归方程;(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?

分析:本题为了降低难度,告诉了y与x间成线性相关关系,目的是训练公式的使用。

解:(1)列表如下:i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.049162536于是b=,。∴线性回归方程为:=bx+a=1.23x+0.08。

(2)当x=10时,=1.23×10+0.08=12.38(万元)即估计使用10年时维修费用是12.38万元。

说明:本题若没有告诉我们y与x间是线性相关的,应首先进行相关性检验。如果本身两个变量不具备线性相关关系,或者说它们之间相关关系不显著时,即使求出回归方程也是没有意义的,而且其估计与预测也是不可信的。

例3.某省七年的国民生产总值及社会商品零售总额如下表所示:已知国民生产总值与社会商品的零售总额之间存在线性关系,请建立回归模型。年份国民生产总值(亿元)

社会商品零售总额(亿元)1985396.26205.821986442.04227.951987517.77268.661988625.10337.521989700.83366.001990792.54375.111991858.47413.18合计4333.012194.24

解:设国民生产总值为x,社会商品零售总额为y,设线性回归模型为。

依上表计算有关数据后代入的表达式得:∴所求线性回归模型为y=0.445957x+37.4148,表明国民生产总值每增加1亿元,社会商品零售总额将平均增加4459.57万元。

例4.已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg与每单位面积蔬菜每年平均产量yt之间的关系有如下数据:年份19851986198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份19931994199519961997199871999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0(1)求x与y之间的相关系数,并检验是否线性相关;

(2)若线性相关,求蔬菜产量y与使用氮肥量之间的回归直线方程,并估计每单位面积施肥150kg时,每单位面积蔬菜的年平均产量。

分析:(1)使用样本相关系数计算公式来完成;(2)查表得出显著水平0.05与自由度15-2相应的相关系数临界值r0.05比较,若r>r0.05,则线性相关,否则不线性相关。

解:(1)列出下表,并用科学计算器进行有关计算:i123456789101112131415xi707480788592909592108115123130138145yi5.16.06.87.89.010.210.012.011.511.011.812.212.512.813.0xiyi357444544608.4765938.490011401058118813571500.616251766.41885,.故蔬菜产量与施用氮肥量的相关系数:r=由于n=15,故自由度15-2=13。由相关系数检验的临界值表查出与显著水平0.05及自由度13相关系数临界值r0.05=0.514,则r>r0.05,从而说明蔬菜产量与氮肥量之间存在着线性相关关系。

(2)设所求的回归直线方程为=bx+a,则∴回归直线方程为=0.0931x+0.7102。

当x=150时,y的估值=0.0931×150+0.7102=14.675(t)。

说明:求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大,需要细心谨慎计算,如果会使用含统计的科学计算器,能简单得到,这些量,也就无需有制表这一步,直接算出结果就行了。另外,利用计算机中有关应用程序也可以对这些数据进行处理。