数学圆锥曲线题解题技巧方法总结

圆锥曲线解题技巧

题型一：求曲线方程

<1>曲线形状已知,待定系数法解决

<2>曲线形状未知，求轨迹方程

题型二：直线和圆锥曲线关系

把直线方程代入到曲线方程中，解方程，进而转化为一元二次方程后利用判

别式、韦达定理，求根公式等来处理(应该特别注意数形结合的思想)

题型三：两点关于直线对称问题

求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。

题型四：两直线垂直

斜率相乘等于-1

题型五：中点弦问题

点差法：设曲线上两点为(X1,Y1)，(X2,Y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(注意斜率不存在D的情况讨论)，从而消去四个参数。

题型六：焦点三角形

椭圆或双曲线上一点和其两个焦点构成三角形，多用正余弦定理解决问题。

题型七：最值问题(求范围)

<1>若命题条件和结论有几何意义，可用图形性质来解答。

<2>若命题条件和结论有函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。

圆锥曲线大题解题技巧

首先，我们要知道直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用。

其次当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立

方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”。

典型例题1：

研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解。

对于判定直线与圆锥曲线的位置关系时，我们通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)。

若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：

Δ>0直线与圆锥曲线相交;

Δ=0直线与圆锥曲线相切;

Δ<0直线与圆锥曲线相离.

若a=0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点。

典型例题2：

最后同学们一定要记住，解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法。

1、若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法;

2、若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法。

在利用代数法解决最值与范围问题时要从以下五个方面考虑：

1、利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围;

2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;

3、利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;

4、利用基本不等式求出参数的取值范围;

5、利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围。

数学圆锥曲线解题技巧

一、化为二次函数，求二次函数的最值

依据条件求出用一个参数表示的二次函数解析式，而自变量都有一定的变化范围，然后用配方法求出限制条件下函数的最值，就可得到问题的解。

例1：曲边梯形由曲线及直线，x=1，x=2所围成，试问通过曲线，上的哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。

分析：先求出适合条件的一条切线方程，再求出这条切线与直线x=1，x=2的交点坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式，再求最值。

大面积的普通梯形。

说明：如果函数解析式中含有参数，一般要根据定义域和参数的特点分类讨论。

二、利用圆锥曲线性质求最值

有些问题先利用圆锥曲线的定义或性质给出关系式，再利用几何或代数方法求最值，可使题目中的数量关系更直观，解题方法更简洁。

例2：已知双曲线的右焦点为F，点A(9，2)。试在双曲线上求一点M，使的值最小，并求这个最小值。

分析：由条件得，与互为倒数，设d为点M到对应准线的距离，可得，把问题转化为求的最小值，点M为过A点垂直于准线的直线与双曲线的交点。

说明：利用圆锥曲线的性质求最值是一种特殊方法，在利用时技巧性较强，但是可以避繁就简，化难为易，使思路清晰，过程简捷。

三、化为一元二次方程，利用判别式求最值

如果能把圆锥曲线的最值问题转化为含有一个未知量的一元二次方程，利用，解得要求未知量的范围，然后确定其最值。

例3：直线，椭圆C：。求以椭圆C的焦点F1、F2为焦点，且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的。

分析：因为直线l与所求椭圆有公共点，可以由方程组得到一个一元二次方程，再利用判别式确定所求椭圆长轴的最小值。

解：椭圆C的焦点。

说明：直线l与椭圆有公共点，可得方程组，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，由一元二次方程有实根的条件得，构造参变量的不等式，确定的最小值，这种解法思路清晰、自然。

四、利用不等式求最值

列出最值满足的关系式，利用平均值不等式中等号成立的条件求最值。

例4：定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，M是线段AB的`中点，求M到 y轴的最短距离。

说明：用不等式求最值有时要用“配凑法”，这种方法是一种技巧，要在训练过程中逐渐掌握。在使用平均值不等式求最值时要满足三个条件：①每一项都要取正值;②不等式的一边为常数;③等号能够成立。

五、利用函数的性质求最值

有些圆锥曲线的最值问题，可以先转化成函数问题，然后利用函数的单调性、有界性等性质求最值。

说明：本题把求圆锥曲线最值问题转化为求三角函数的最值问题，然后利用的有界性得出结果。

六、利用平面几何的有关知识求最值

有些圆锥曲线求最值问题可以转化为平面几何问题，借助一些平面几何知识求最值。

例6：已知椭圆，点A(4，0)是它的右焦点，B(2，2)是椭圆内一点，M是椭圆上一动点，求的最大值和最小值。

说明：有些圆锥曲线求最值问题，如果用代数方法求解比较复杂，可以考虑用几何知识求解，其中“三角形两边之和大于第三边”是求最值常用的定理。