高中必修一数学知识点总结
一、集合有关概念
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.
2、集合的中元素的三个特性:
1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.
3、集合的表示:
{ … }如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法:列举法与描述法.
注意啊:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作 a∈A ,相反,a不属于集合A记作 a?A
列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、集合的分类:
1.有限集含有有限个元素的集合
2.无限集含有无限个元素的集合
3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}
第I卷(选择题)
1.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},则U(A∩B)=
A.{1,4,5}B.{2,3}C.{4,5}D.{1,5}
2.设集合A={x|x2﹣4x+3≥0},B={x|2x﹣3≤0},则A∪B=
A.(﹣∞,1]∪[3,+∞)B.[1,3]C.D.
3.若全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={2,3,4},则(UM)∩N等于
A.{1}B.{2}C.{3,4}D.{5}
4.已知集合A={﹣1,2},B={x∈Z|0≤x≤2},则A∩B等于
A.{0}B.{2}C.φD.φ
5.设集合A={x|2x≤8},B={x|x≤m2+m+1},若A∪B=A,则实数m的取值范围为.
A.[﹣2,1)B.[﹣2,1]C.[﹣2,﹣1)D.[﹣1,1)
6.已知集合A={1,2,3},B={0,1,2},则A∩B的子集个数为
A.2B.3C.4D.16
7.如果集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素则a的值是
A.0B.0或1C.﹣1D.0或﹣1
8.已知集合M={x|(x﹣1)=0},那么
A.0∈MB.1MC.﹣1∈MD.0M
9.设A={x|﹣1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠,则a的取值范围是
A.a<2B.a>﹣2C.a>﹣1D.﹣1<a≤2
10.以下五个写法中:①{0}∈{0,1,2};②{1,2};③{0,1,2}={2,0,1};④0∈;⑤A∩=A,正确的个数有
A.1个B.2个C.3个D.4个
11.集合{1,2,3}的真子集的个数为
A.5B.6C.7D.8
12.已知3∈{1,a,a﹣2},则实数a的'值为
A.3B.5C.3或 5D.无解
13.已知集合A={﹣1,1},B={x|ax+2=0},若BA,则实数a的所有可能取值的集合为
A.{﹣2}B.{2}C.{﹣2,2}D.{﹣2,0,2}
14.设所有被4除余数为k(k=0,1,2,3)的整数组成的集合为Ak,即Ak={x|x=4n+k,n∈Z},则下列结论中错误的是A.2016∈A0B.﹣1∈A3C.a∈Ak,b∈Ak,则a﹣b∈A0D.a+b∈A3,则a∈A1,b∈A2
二、填空题
16.已知集合A={﹣1,3,2m﹣1},集合B={3,m2}.若BA,则实数m= .17.对于任意集合X与Y,定义:①X﹣Y={x|x∈X且xY},②X△Y=(X﹣Y)∪(Y﹣X),(X△Y称为X与Y的对称差).已知A={y|y=2x﹣1,x∈R},B={x|x2﹣9≤0},则A△B=.
18.函数y=的定义域为A,值域为B,则A∩B=.
19.若集合为{1,a,}={0,a2,a+b}时,则a﹣b= .20.用M[A]表示非空集合A中的元素个数,记|A﹣B|=,若A={1,2,3},B={x||x2﹣2x﹣3|=a},且|A﹣B|=1,则实数a的取值范围为.
三、解答题
21.已知不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1,n],集合B={x|x2﹣ax+a≤0}.
(1)求m﹣n的值;
(2)若A∪B=A,求a的取值范围.
22.已知函数f(x)的定义域为(0,4),函数g(x)=f(x+1)的定义域为集合A,集合B={x|a<x<2a﹣1},若A∩B=B,求实数a的取值范围.
23.已知A={x|x2+x>0},B={x|x2+ax+b≤0},且A∩B={x|0<x≤2},A∪B=R,求a、b的值.24.已知集合A={x|x2+px+1=0},B={x|x2+qx+r=0},且A∩B={1},(UA)∩B={﹣2},求实数p、q、r的值.
25.已知元素为实数的集合S满足下列条件:①0S,1S;②若a∈S,则∈S.
(Ⅰ)若{2,﹣2}S,求使元素个数最少的集合S;
(Ⅱ)若非空集合S为有限集,则你对集合S的元素个数有何猜测?并请证明你的猜测正确.
26.已知集合A={x|x2﹣3x﹣4≤0},B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0},C={y|y=2x+b,x∈R}
(1)若A∩B=[0,4],求实数m的值;
(2)若A∩C=,求实数b的取值范围;
(3)若A∪B=B,求实数m的取值范围.
试卷答案
1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.C 7.D 8.D 9.C 10.B 11.C 12.B 13.D 14.D 16.1
17.[﹣3,﹣1)∪(3,+∞)
18.[0,2]
19.﹣1
20.0≤a<4或a>4
21.(1)利用韦达定理,求出m,n,即可求m﹣n的值;
(2)若A∪B=A,BA,分类讨论求a的取值范围.
【解答】解:(1)∵不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1,n],
∴,∴m=﹣4,n=3,
∴m﹣n=﹣7;
(2)A∪B=A,∴BA.
①B=,△=a2﹣4a<0,∴0<a<4;②B≠,设f(x)=x2﹣ax+a,则,∴4≤a≤,
综上所述,0<a≤.
22.【解答】解:要使g(x)有意义,则:0<x+1<4,
∴﹣1<x<3,
∴A={x|﹣1<x<3};
∵A∩B=B,
∴BA;
①若B=,满足BA,
则a≥2a﹣1,解得a≤1;
②若B≠,则,
解得1<a≤2;
综上,实数a的取值范围是(﹣∞,2].
23.【解答】解:集合A={x|x2+x>0}={x|x<﹣1或x>0}∴﹣1,2是方程x2+ax+b=0的两个根,
∴a=﹣1,b=﹣2
即a,b的值分别是﹣1,﹣2.
24.【解答】解:集合A={x|x2+px+1=0},B={x|x2+qx+r=0},且A∩B={1},
∴1+p+1=0,解得p=﹣2;
又1+q+r=0,①
(UA)∩B={﹣2},
∴4﹣2q+r=0,②
由①②组成方程组解得q=1,r=﹣2;
∴实数p=﹣2,q=1,r=﹣2.
本题考查了集合的定义与应用问题,是基础题目.
25.【解答】解:(Ⅰ)2∈S,则﹣1∈S,∈S,可得2∈S;﹣2∈S,则∈S,∈S,可得﹣2∈S,
∴{2,﹣2}S,使元素个数最少的集合S为{2,﹣1,,﹣2,, }.
(Ⅱ)非空有限集S的元素个数是3的倍数.
证明如下:
(1)设a∈S则a≠0,1且a∈S,则∈S, =∈S, =a∈S
假设a=,则a2﹣a+1=0(a≠1)m无实数根,故a≠.
同理可证a,,两两不同.
即若有a∈S,则必有{a,, }S.
(2)若存在b∈S(b≠a),必有{b,, }S.{a,, }∩{b,, }=.
于是{a,,,b,, }S.
上述推理还可继续,由于S为有限集,故上述推理有限步可中止,
∴S的元素个数为3的倍数.
26.【解答】解:(1)由A中不等式变形得:(x﹣4)(x+1)≤0,
解得:﹣1≤x≤4,即A=[﹣1,4];
由B中不等式变形得:(x﹣m+3)(x﹣m﹣3)≤0,
解得:m﹣3≤x≤m+3,即B=[m﹣3,m+3],
∵A∩B=[0,4],
∴,
解得:m=3;
(2)∵由C中y=2x+b>b,x∈R,得到C=(b,+∞),且A∩C=,A=[﹣1,4],
∴实数b的范围为b≥4;
(3)∵A∪B=B,
∴AB,
∴,
解得:1≤m≤2.
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