数学《椭圆及其标准方程》教学设计

　　数学《椭圆及其标准方程》教学设计篇1

　　一、教学内容解析

　　1．地位与作用：

　　本章是北师大版选修1—1的第二章《圆锥曲线与方程》，是高中数学解析几何的第二大部分。解析几何是数学中一个重要的分支，它联系了数学中的数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。在北师大版必修2中，学生已掌握了在平面直角坐标系下研究直线和圆的方法，本章教材进一步利用三种基本圆锥曲线深化代数与几何的关系。本章教材内容的顺序是：椭圆→抛物线→双曲线→曲线与方程。这样安排的用意是，先学圆锥曲线，再学曲线与方程，这样的顺序更有利于学生的学习，符合学生从特殊到一般，具体到抽象的认知规律。在圆锥曲线的学习过程中，不断的渗透曲线与方程的思想，为学生理解并掌握“曲线与方程”这一概念奠定了基础。

　　本节是北师大版选修1—1的第二章《圆锥曲线与方程》第1节的内容，主要学习椭圆的定义、标准方程及其简单的应用，分为两课时，本节课是第1课时，主要学习椭圆的定义及其标准方程。教材以椭圆为基础和重点说明了求方程并利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在认知抛物线和双曲线中得到了巩固和应用，因此《椭圆及其标准方程》这一节课起到了承上启下的作用。

　　2．教材处理顺序

　　教材在椭圆的定义这个内容的安排上是：先从直观上认识椭圆，再从画法中提炼出椭圆的几何特征，由此抽象概括出椭圆的定义，最后是椭圆定义的简单应用。这样的安排不仅体现出《课程标准》中要求通过丰富的实例展开教学的理念，而且符合学生从具体到抽象的认知规律，有利于学生对概念的学习和理解。教材在本节内容中只研究了中心在原点，焦点在 轴上的椭圆的标准方程，让学生自己去归纳焦点在 轴上的椭圆的标准方程。这样的处理给学生提供了一次探究和交流的机会。有利于学生对抛物线标准方程的理解，有利于学生思维能力的提高和学习兴趣的培养。

　　3．数学思想方法

　　本节内容蕴含了：数形结合思想、转化化归思想等。在推导椭圆标准方程过程中让学生体会移项再平方去根号的方法。

　　二、教学目标和重难点

　　1．教学目标

　　（1） 知识与技能目标：①理解椭圆的定义；②掌握的椭圆的标准方程。

　　（2） 过程与方法目标：①在椭圆定义的获知和归纳中，进一步渗透数形结合的数学思想方法；②通过椭圆标准方程的推导过程，巩固用坐标化的方法求动点的轨迹方程，同时体会含有两个根式的化简思路。

　　（3） 情感、态度和价值观：①通过椭圆定义的归纳，培养学生发现规律，认识规律并利用规律解决实际问题的能力；②通过师生、生生合作学习，增强学生团队协作能力，增强主动与他人合作交流的意识。

　　2．教学重点

　　（1） 掌握椭圆的定义与相关概念；

　　（2） 掌握椭圆的标准方程。

　　3．教学难点

　　椭圆标准方程的推导。

　　三、学情分析

　　1．学生已有的认知基础

　　授课班级学生为高二年级学生。

　　椭圆是圆锥曲线中基础且重要的一种图形，在实际生活中经常遇到。学生在高一对解析几何有了初步的了解和认识，对于在平面直角坐标系下的点坐标及长度公式已掌握，具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能，有较好的学习习惯和方法。

　　2．学生存在的难点

　　学生在涉及到需要自己建立坐标系，再研究推导出方程仍是一个难点。且之前未接触过一个式子中含两个根式相加的情况，故化简是个问题。

　　3．突破策略

　　由教师引领学生观察所绘出的椭圆的特点，定点位置，从而建立合适的直角坐标系。

　　四、教学策略分析

　　1．内容突破策略

　　本节课新知内容分两大板块：一是总结概括出椭圆的定义；二是推导出椭圆的标准方程。针对第一板块内容，主要采取学生先动手画椭圆，在实践的过程中发现一些固定不变的量和量与量之间存在的关系，从而总结出椭圆的定义，并且深刻领悟定义中所说的一些特别要求。针对第二板块内容，主要是采取教师引导，学生动手，通过一般的求动点轨迹的方法推导出椭圆的标准方程，符合学生的认知规律。

　　2．启迪学生思维策略：

　　在教学方法的选择上，采用教师组织引导，学生动手实践、自主探究、合作交流的学习方式，力求体现教师的引导者、合作者的作用，突出学生的主体地位。

　　五、教学过程

　　教学过程

　　设计意图

　　一、创设情景，导入新课

　　1．让学生观察几张典型图片和行星在太阳系中的运动轨迹，由此看出一个共同的数学图形“椭圆”。

　　2．大家还能举出生活中你所遇到的椭圆吗？

　　3．用多媒体演示一个嫦娥三号运行椭圆形轨道的例子。

　　1．使学生对椭圆有一个感性认识，明白生活实践中有许多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力。

　　2．通过提问激发学生课堂上的学习兴趣。

　　二、椭圆的定义（分四个环节）

　　1．画一画（画椭圆）

　　①将一条绳子的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷紧，围绕定点旋转，笔尖形成的轨迹是什么？

　　（由学生动手在黑板上进行演示，提高学生的动手能力，同时激起学生学习本节课的兴趣）

　　②而将绳子的两端分别固定在两个定点上，笔尖勾直绳子，移动笔尖，得到的是轨迹是什么？

　　（教师提问，让学生动手，拿出提前准备好的毛线，两组同学上黑板画，其他同学同桌合作在练习本上画）

　　动画演示作图过程

　　2．认一认（实验总结）

　　提出问题：①作图过程中，哪些量没有变？哪些量变了？

　　提出问题：②为什么要求作图过程中笔尖要绷紧？

　　提出问题：③笔尖所对应的动点M到定点的距离有什么长度之间的关系？

　　总结：笔尖对应的动点M到直线两个端点的长度之和固定不变。

　　3．说一说（总结定义）

　　提出问题：根据刚才动手实践的过程，能否总结椭圆的定义？（同学自由发言，再由学生进一步补充完善）

　　我们把平面内到两个定点 ， 的距离之和等于常数（大于 ）的点的集合叫作椭圆。

　　问题1：定义中的常数等于 ，则动点的轨迹是什么？

　　问题2：定义中的常数小于 ，则动点的轨迹是什么？

　　4．椭圆相关概念：两个定点 ， 叫作椭圆的焦点，两个焦点 ， 间的距离叫作椭圆的焦距。

　　1．给学生提供一个动手、动脑的学习机会；

　　2．学生可通过动手实践的过程去体会“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”，从而对椭圆定义中的条件有直观深刻的认识。

　　3．通过三个问题的设置，为学生从画法中发现抛物线的几何特征奠定基础。

　　4．通过三个典型的问题，让学生更深刻地理解椭圆的定义

　　5．使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风。

　　三、椭圆的标准方程

　　1．求一求（推导椭圆的标准方程）

　　问题3：回顾圆的轨迹方程是如何求的？

　　①建系： ②设点：

　　③列式： 得： ④化简：

　　问题4：以怎样的建系方式，哪一种针对求椭圆的标准方程比较好？

　　（补充说明：椭圆具有一定的对称美，故所求的式子最好简洁工整）

　　动手演算：让学生动手，求推导焦点在 轴上的椭圆的标准方程

　　①建系：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？（利用椭圆的对称性特征）

　　以直线 为 轴，以线段 的垂直平分线为 轴，建

　　立平面直角坐标系．

　　②设点：设焦距为 ，则 ．设 为椭圆上任意一点，点 与点 的距离之和为 ．

　　③列式：动点 满足的几何约束条件:

　　坐标化为：

　　④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号

　　预案一：移项后两次平方法

　　两边同时平方、整理得：

　　将上式两边平方、整理得：

　　分析 的几何含义，令

　　得到焦点在 轴上的椭圆的标准方程为

　　预案二：

　　用等差数列法：

　　设

　　得4cx=4at，即t=

　　将t= 代入 式得

　　③

　　将③式两边平方得出结论。以下同预案一

　　预案三：三角换元法：

　　设

　　得

　　即 即

　　代入 式得

　　以下同预案一

　　2．问一问

　　问题5 ：焦点在 轴上的椭圆的标准方程是什么？

　　（由学生动手列式， ，引导学生观察焦点在 轴上与焦点在 轴上式子的差异，从而用类比的方法得到焦点在 轴上椭圆的标准方程）

　　如果椭圆的焦点在 轴上，其焦点坐标为 ， ，用同样的方法可以推出它的标准方程

　　问题6：如何用几何图形解释 ？ ， ， 在椭圆中分别表示哪些线段的长？

　　1．让学生由圆的标准方程的推导过程，类比的推导椭圆的标准方程。

　　2．椭圆方程不止一种，建立的坐标系不同，椭圆方程的表达形式也不同，在高中阶段只掌握焦点在坐标轴上的椭圆的标准方程。

　　3．进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称美

　　4．数形结合的思想的灵活应用，进一步深化巩固数学思想方法

　　做好准备，以备个别学生想到此种方法

　　四、课堂探究

　　探究一：判断分别满足下列条件的动点 的轨迹是否为椭圆

　　（1）到点 和点 的距离之和为6的点的轨迹；（是）

　　（2）到点 和点 的距离之和为4的点的轨迹； （不是）

　　（3）到点 和点 的距离之和为3的点的轨迹； （不是）

　　(4).已知椭圆的标准方程为 ，请填空：a=_____,b=_____,c=_____,焦点坐标为_________________,焦距等于_________.

　　探究二：判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点的坐标

　　（1） ；（在 轴上，焦点为 ， ）

　　（2） ；（在 轴上，焦点为 ， ）

　　（3） 。（在 轴上，焦点为 ， ）

　　1．巩固椭圆的定义

　　2．通过本题的练习，使学生能加深椭圆的焦距与标准方程之间关系的理解，同时会求标准方程的基本量，教学时应引导学生逐层深入，养成求椭圆标准方程先看焦点位置的良好习惯。

　　五、课堂小结

　　问题：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获.

　　1．知识内容收获：一个定义（椭圆的定义）；两个方程（椭圆的两种标准方程）；及椭圆中 之间的关系。

　　2．学习过程收获：①巩固了动点的轨迹方程的求法；②通过推导椭圆的标准方程的过程，学会了两个根式相加的式子的化简方法，同时提高了自己的运算能力。

　　3．数学思想和方法：数形结合思想；转化化归思想；分类讨论思想。

　　目的：培养学生的概括总结能力

　　六、课后巩固练习

　　1．课后思考：当把椭圆的两个焦点合二为一了后，得到的图形是什么？你能总结出什么样的规律？

　　2．书面作业：

　　课本 练习2: 1, 2, 3

　　是对本节课新知内容及学习方法的巩固，同时启发学生思考，让学生更有兴趣继续研究椭圆

　　七、板书设计

　　椭圆及其标准方程

　　一、画椭圆

　　二、定义：

　　注明：①若 ，则点的轨迹不存在；

　　②若 ，则轨迹为线段

　　三、椭圆的标准方程

　　焦点在 轴上时，

　　焦点在 轴上时，

　　八、设计感想

　　上本节课前本人阅读了大量圆锥曲线的知识，对各种不同的椭圆定义引题进行了分析比较，通过各位同事耐心的指导和多次的'讨论，最终采用了以现实生活中椭圆的应用引入，充分展现了知识的形成过程，有利于学生自主探究与创新意识的培养。但在设计过程仍遇到很多我无法解决的问题，比如如何将圆锥曲线背景知识融入到课堂；如何用几何画板将纸张的翻折更形象的演示等等。如何加以改进，这是在后续教学中需要思考的问题。这也反映了我在新课程面前的不足，认识到教师自身专业发展与能力提高的重要性与紧迫感；认识到新课程下的教师不再是静态的蜡烛、明灯抑或是航标，而是一名充满激情的主持人，一名锐意进取的先行者这样一个角色的转换；认识到新课改的成功要从我做起，从现在做起！

　　数学《椭圆及其标准方程》教学设计篇2

　　一、教学内容分析（简要说明课题来、学习内容、这节课的价值以及学习内容的重要性）

　　本节课是高中新课程人教A版数学选修1—1第二章第一单元《椭圆及其标准方程》的第一课时.

　　本节的内容是继学习圆之后运用 “曲线和方程”理论解决具体二次曲线的又一实例.从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，推导椭圆的标准方程的方法对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，因此，这节课有承前启后的作用，是本节乃至本章的重点。

　　二、教学目标（从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度对该课题预计要达到的教学目标做出一个整体描述）

　　基于新课标的要求，结合本节内容的地位，我提出教学目标如下：

　　（1）知识与技能：

　　①了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程； ②使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程.

　　（2）过程与方法：

　　①让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想； ②学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力.

　　（3）情感态度与价值观：

　　①通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神.

　　②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，

　　③通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美；提高学生的审美情趣.

　　三、学习者特征分析（说明学习者在知识与技能、过程与方法、情感态度等三个方面的学习准备（学习起点），以及学生的学习风格。最好说明教师是以何种方式进行学习者特征分析，比如说是通过平时的观察、了解；或是通过预测题目的编制使用等）

　　1.能力分析

　　①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程，②对含有两个根式方程的化简能力薄弱。

　　2.认知分析

　　①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤，②对曲线的方程的概念有一定的了解。

　　3.情感分析

　　学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究。

　　改变学生的学习方式是高中课改追求的基本理念。遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。我采用了通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题；以学生主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体，在教师的引导下，学生“跳一跳”就能摘得果实；于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展。通过不断探究、发现，让学生的学习过程成为心灵愉悦的主动过程，使师生的生命力在课堂上得到充分的发挥。激发学生的学习兴趣和创新能力，帮助学生养成独立思考积极探索的习惯。

　　四、教学策略选择与设计（说明本课题设计的基本理念、主要采用的教学与活动策略）

　　椭圆的标准方程共两课时，第一课时所研究的是椭圆标准方程的建立及其简单运用，涉及的数学方法有观察、比较、归纳、猜想、推理验证等，我校学生基础差、底子薄，数学运算能力，分析问题、解决问题的能力，逻辑推理能力，思维能力都比较弱，所以在设计课的时候往往要多作铺垫，扫清他们学习上的障碍，保护他们学习的积极性，增强学习的主动 。在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习

　　五、教学重点及难点（说明本课题的重难点）

　　基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为： ①重点：椭圆定义和标准方程 ②难点：椭圆的标准方程的推导。

　　六、教学过程（这一部分是该教学设计方案的关键所在，在这一部分，要说明教学的环节及所需的资源支持、具体的活动及其设计意图以及那些需要特别说明的教师引导语）

　　一. 创设问题情境：

　　情境1：给出椭圆的一些实物图片：天体运行图（月亮绕地球，地球绕太阳旋转）、汽车油罐的横截面，立体几何中圆的直观图?

　　实物：圆柱形杯倾斜后杯中水的形状。

　　情境2：校园内一些椭圆形小花坛

　　问题 学校准备在一块长3米、宽1米的矩形空地上建造一个椭圆形花园，要尽可能多地利用这块空地，请问：如何画这个花园的边界线？

　　（学生现在还不能解决，只有通过今天这节课的学习才能解决这个问题）

　　这是实际生活中图形，数学中我们也遇到这一类图形：归结为到两定点距离之和为定值的点的轨迹问题。如何用现有的工具画出图形？（启发学生用画圆的方法试着画图）

　　教师与学生一起找出上述问题的解决方案，并一同用给的工具画出图形，与上述图形相似——椭圆

　　问题情境的创设应有利于激发学生的求知欲。为了学习椭圆的定义，我设计如下两个学生熟悉的情境：

　　通过情境1，让学生感受到椭圆的存在非常普遍。小到日常生活用品，大到建筑物的外形，天体的运行轨道。

　　通过情境2，让学生主动思考如何画椭圆及椭圆的定义。

　　通过问题，要求学生以小组为单位进行实验、观察、猜想，激发学生探索的欲望和浓厚的学习兴趣，使学生的主体地位得到体现。

　　二. 探求椭圆方程

　　如何选取坐标系？

　　方案1：以一个定点为原点，两定点的连线为X轴

　　回顾圆的方程的建立过程，首先是做什么？ （提问学生） 如何选择适当的坐标系来建立椭圆的方程呢？

　　学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。

　　方案2：以两定点的连线为X轴，其垂直平分线为Y轴

　　学生可能有很多种建系方法，根据课堂的实际情况进行处理。不能否定学生的方法，让学生自己讨论那种建系方法更为合适，我想学生通过这些活动能够建立几种常见的坐标系，并列出相应的代数方程。我认为这样有利于培养学生的动手实验，分析比较，相互协作等能力。让学生体验到知识的产生过程。

　　三. 标准方程比较

　　（让学生讨论，归的标准方程有何异同） （1）相同点纳出这两种形式的标准方程有何异同）

　　（1）相同点

　　①方程中x，y表示椭圆上任意一点 ②关于x，y的二元二次方程；

　　③焦点位置的判定：焦点在较大分坐标；

　　（2）不同点

　　①方程形式 ②图形 ③焦点坐标

　　由于化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，估计学生容易想到直接平方，这时可让学生预测这样化简的难度，从而确定移项平方可以简化计算。为此，我首先启发学生如何去掉根号较好，让学生动手比较，最后得出移项平方化简方程比较简单，这样有利于培养学生的分析比较能力。

　　七、教学评价设计（创建量规，向学生展示他们将被如何评价（来自教师和小组其他成员的评价）。也可以创建一个自我评价表，这样学生可以用它对自己的学习进行评价）

　　椭圆方程的化简是学生从未经历的问题，方程的推导过程采用学生分组探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学探究能力，培养学生独立主动获取知识的能力

　　八、板书设计（本节课的主板书）

　　一．定义

　　二. 标准方程比较

　　1）相同点 ①方程中x，y表示椭圆上任意一点的坐标； ②关于x，y的二元二次方程； ③焦点位置的判定：焦点在较大分母对应的变量的坐标轴上

　　2）不同点 ①方程形式 ②图形 ③焦点坐标

　　九．教学反思

　　椭圆是圆锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础，坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念，主要采用学生自主探究学习的方式，使培养学生的探索精神和创新能力的教学思想贯穿于本节课教学设计的始终。

　　椭圆是生活中常见的图形，通过实验演示，创设生动而直观的情境，使学生亲身体会椭圆与生活联系，有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣；在椭圆概念引入的过程中，改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式，而采用学生动手画椭圆并合作探究的学习方式，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。