关于圆和三角形的定理整理

中考数学：三角形内切圆

1、定义。

与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。如图1所示点O为三角形ABC的内心，圆O为三角形ABC的内切圆。

2、作法

利用角平分线上的点到两边的距离相等这一性质来作图，

第一步：作出三角形ABC三个角的角平分线，相交于点O(作出两个角的角平分线即可);

第二步：过点O做边BC的垂线，交BC于点E;

第三步：以点O为圆心，OE为半径，作出的圆O即为△ABC的内切圆。

3、性质

在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等,且大小等于三角形内切圆的半径。

中考数学：垂径定理和三点作圆

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

1、垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。如下图所示，CD为⊙O的直径，且垂直于弦AA',垂足为M，可以得到下列结论：

2、推理1

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。

3、推理2

圆两条平行弦所夹的弧相等。

4、过不共线三点的圆

过不共线三点的圆的作法：利用中垂线找圆心。如下图，利用A、B、C三点做圆，分别作出线段AB、BC、CA的中垂线，相交于点O，则点O为所做圆的圆心(实际做题过程中，做两条线段的中垂线即可)，OA为圆O的直径。

4、定理

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

6、相关概念

经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。

中考数学：等腰三角形的性质定理

1、等腰三角形的性质定理：

等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。

2、推论1：

等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。即：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高三线互相重合。

例如：等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等，因为等腰三角形底边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等。

3、推论2：

练习题

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°，即等边三角形是特殊的等腰三角形

1、判断题：等腰三角形的底角一定是锐角 ( )。

2、若等腰三角形的一个角是50°,则这个等腰三角形的底角为( )。

3、等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°,则其顶角的大小为( )。

4、如图,∠ABC=50°,∠ACB=80°,延长CB到D,使BD=AB,延长BC到E,使CE=CA,连接AD.AE,求∠DAE的大小。

练习题答案

1、对。解析：等腰三角形两底角相等,如果两底角≥90°,其和就≥180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故等腰三角形的底角一定为锐角。

2、50°或65°。解析：所给的角可能是顶角，也可能是底角。

3、40°。解析：数形结合的思想来解题。

4、解析：∵∠ABC=50°,∠ACB=80°

∴∠BAC=180°-50°-80°=50°

∵BD=AB,∠ABC=50°

∴∠DAB=∠D=25°

同理:∠EAC=40°

∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠EAC=115°