《鸽巢问题》教学设计

《鸽巢问题》教学设计

　　教学目标：

　　1、知识与技能：初步了解鸽巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法，运用鸽巢原理的知识解决简单的实际问题或解释相关的现象。

　　2、过程与方法：通过操作、观察、比较、说理等数学活动，使学生经历鸽巢原理的形成过程，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想。

　　3、情感 态度：通过对鸽巢原理的灵活运用，感受数学的魅力，体会数学的价值，提高学习数学的兴趣。

　　教学重点：经历“鸽巢原理”的探究过程，理解鸽巢原理。

　　教学难点：理解“鸽巢原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

　　教学准备：多媒体课件、铅笔、纸杯、合作探究作业纸。

　　教学过程：

　　一、 唤起与生成

　　1、谈话：同学们，你们喜欢魔术吗？今天，黄老师给大家表演一个小魔术。一副牌，取出大小王，还剩52张牌，请5个同学每人随意抽一张，我知道至少有2张牌是同花色的。相信吗？来，试试看。

　　2、验证： 抽取，统计。是不是凑巧了，再来一次。表演成功！

　　3、至少2张是什么意思？（也就是最少2张，最起码2张，反过来，同一花色的可能有2张，也可能是3张、4张、5张...，一句话概括就是至少2张）。

　　确定是哪个花色了吗 ？（没有）反正总有一个花色，所以，这个数据不管是在哪个花色出现都证明表演是成功的。

　　4、设疑：你们想知道这是为什么吗？其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理，这节课让我们一起去发现！

　　二、探究与解决

　　（一）、小组探究：4放3的简单鸽巢问题

　　1、出 示：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

　　2、审 题：

　　①读题。

　　②从题目上你知道了什么？证明什么？

　　（我知道了把4支铅笔放进3个笔筒中，证明不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。）

　　③你怎样理解“不管怎么放”、“总有” 、“至少”的意思？

　　“不管怎么放”：就是随便放、任意放。

　　“总有”： 就是一定有，不确定是哪个笔筒，这个笔筒没有那个笔筒会有。

　　“至少”： 就是最少，最起码。至少有2支，就是最少有2支，不能少于2支。也可能是3支、4支、甚至5支。

　　3、探 究：

　　①谈 话：看来大家已经理解题目的意思了，眼见为实，就让我们亲自动手摆一摆、放一放，看看有哪几种放法？

　　②活 动：小组活动，四人小组。

　　听要求！

　　活动要求：每个小组都有笔筒和笔，请四个人中面对面的两人一人扶杯子一人放铅笔，另外两人一人口述一人记录，让我们齐心协力，摆出所有情况后，对照题目，看有什么发现。

　　听明白了吗？开始！

　　3、反 馈：汇报结果

　　同学们办法真多，有用画图法，有用数的分解来表示，都很清晰。谁来汇报一下你们的成果？

　　可以在第一个笔筒中放4支铅笔，其他两个空着。这种放法可以说成（4,0,0），（3,1,0），（2,2,0），（2,1,1）（课件逐一出示）

　　追 问：谁还有疑问或补充？

　　预设：说一说你比他多了哪一种放法？

　　（2，1，1）和（1，1，2）是一种方法吗？为什么？）

　　只是位置不同，方法相同

　　5、验证：观察这4种摆法，凭什么说“总有一个笔筒中至少有2支铅笔”？

　　（1）逐一验证：

　　第一种摆法（4，0，0），是不是总有一个笔筒至少2支，哪个？放的最多的笔筒里有4支，比2支多也可以吗？

　　符合总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

　　第二种摆法（3，1，0），符合。哪个？放的最多的笔筒里有3支，符合总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

　　第三种摆法（2，2，0），放的最多的笔筒里有2支， 符合总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

　　第四种摆法（2，1，1），放的最多的笔筒里有2支， 符合总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

　　符合条件的那个笔筒在三个笔筒中都是最多的。

　　（2）设疑：我有一个疑问，第一种摆法（4，0，0）放的最多的笔筒里，放有4支，可以说总有一个笔筒至少有4 支铅笔吗？说成3支也不行吗？

　　（3）小结：哦，原来是这样，要考虑所有摆法，然后在所有摆法中，圈出每一种摆法中最多的，再从最多的里面找到至少数，就能得出这个结论。

　　所以，把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

　　（二）自主探究：5放4的简单鸽巢原理

　　1、过 渡：依此推想下去

　　2、出 示：把5支铅笔放进4个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒至少有（ ）支铅笔。

　　3、猜 想：同学们猜猜看，至少数是几支？（你说、你说）

　　4、验 证：你们的猜测对吗？让我们来验证一下。

　　活动要求：

　　（1）思考有几种摆法？记录下来。

　　（2）观察每一种摆法，能不能从中找出答案。有困难的可以同桌合作。

　　好，开始。（教师参与其中）。

　　5、汇 报：把5支铅笔放进4个笔筒中，共有6种摆法

　　分别是：5000 、4100、 3200、 3110 、2200、2111

　　（课件同步播放）

　　预设：我圈出了每种摆法中，放铅笔最多的那个笔筒，然后发现，放铅笔最多的的笔筒里面至少放有2支铅笔。

　　6、订 正：有补充的吗？噢，我们来看，这6种摆法，把每种方法里放的（停顿）最多的铅笔圈出来了，分别是5支、4支、3支、2支，从中找到至少数是2支。

　　7、小 结：恭喜答对的同学！同学们可真是厉害！请看，我们研究了这样的两个问题：

　　①把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。会讲为什么。

　　②把5支铅笔放进4个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒至少有几支铅笔？会求至少数。

　　不管是对结论的证明还是求解至少数，我们都采用一一列举的方法，罗列出所有摆法，再通过观察，得出结论。

　　（三）、探究鸽巢原理算式

　　1、谈 话：哎，如果这里有 100支铅笔放进30个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒至少有几支铅笔？

　　还是让求至少数，还用一一列举的方法来研究，你觉得怎么样？

　　（好麻烦，是啊， 想想都觉得麻烦！）

　　2、追 问：数学是一门简洁的科学，那就请同学们想一想，除了通过操作一一列举出来，有没有什么方法能一下子找到结果呢？

　　其实，我们刚才已经和那一种方法见过面，以4放3为例，请同学们认真观察每一种摆法，分别找一找，哪一种摆法最能说明：总有一个笔筒里至少放有2支铅笔呢？

　　3、平均分：为什么这样分呢？

　　生：我是这样想的，先假设每个笔筒中放1支，这样还有1支，这是无论放到哪个笔筒，那个笔筒中就有2支了，所以我认为是对的。（课件演示）

　　师：你为什么要先在每个笔筒中放1支呢？

　　生：因为总共只有4支，平均分，每个笔筒只能分到1支。

　　师：为什么一开始就要去平均分呢？

　　生：平均分，就可以使每个笔筒中的笔尽可能少一点。也就有可能找到和题目意思不一样的情况。

　　师：我明白了，但这样能证明总有一个笔筒中肯定会有2 支笔，怎么就证明了至少有2支呢？

　　生：平均分已经使每个笔筒中的笔尽可能的少了，如果这样都符合要求，那另外的情况肯定也是符合要求的了。

　　师：看来，平均分是保证“至少”数的关键。

　　4、列式：

　　①你能用算式表示吗？

　　4÷3=1……1?? 1+1=2

　　②讲讲算式含义。

　　a、指名讲：假设把4支铅笔平均放进3个笔筒中，每个笔筒放1支，剩下的1支就要放进其中的一个笔筒，1+1=2，所以总有一个笔筒至少有2支铅笔。

　　b、真棒！讲给你的同桌听。

　　5、运 用：把5支铅笔放进4个笔筒不管怎么放，总有一个笔筒至少有几支铅笔？? 请用算式表示出来。

　　5÷4=1……1?? 1+1=2

　　说说算式的意思。

　　a、同桌齐说。

　　b、谁来说一说？

　　师：我们会用除法算式表示平均分的过程，这种方法更为快捷、简明。

　　（四）探究稍复杂的鸽巢问题

　　1、加深感悟：我们继续研究这样的问题，边计算边思考：这样的题目有什么特点？结论中的至少数是怎样得到的？

　　2、题组（开火车，口答结果并口述算式）

　　（1）6支铅笔放进5个笔筒里，总有一个笔筒里面至少有（）支铅笔

　　（2）7支铅笔放进5个笔筒里，总有一个笔筒里面至少有（）支铅笔

　　7÷5=1…… 2?? 1+2=3?

　　7÷5=1…… 2?? 1+1=2

　　出现了两种答案，究竟那种正确？同桌商量商量。不行我再救场（学生讨论）

　　你认为哪种结果正确？为什么？

　　质 疑：为什么第二次还要平均分？（保证“至少”）

　　把铅笔平均分才是解决问题的关键啊。

　　（3）把笔的数量进一步增加：

　　8支铅笔放5个笔筒里，至少数是多少？

　　8÷5=1……3?? 1+1=2

　　（4）9支铅笔放5个笔筒里，至少数是多少？

　　9÷5=1……4?? 1+1=2

　　（5）好，再增加一支铅笔？至少数是多少？

　　还用加吗？为什么？? 10÷5=2?? 正好分完, 至少数是商

　　（6）好再增加一支铅笔,,你来说

　　11÷5=2……1?? 2+1=3?? 3个

　　①你来说说现在至少数为什么变成3个了？（因为商变了，所以至少数变成了3.）

　　②那同学们再想想，铅笔的支数到多少支时，至少数还是3？

　　③铅笔的支数到多少支的时候，至少数就变成了4了呢？

　　（7）把28支铅笔放进5个笔筒里，总有一个笔筒里面至少放进（? ）支铅笔。28÷5=5……3?? 5+1=6??

　　（8）算的这么快，你一定有什么窍门？（比比至少数和商）

　　（9） 把m支铅笔放进n个笔筒里，总有一个笔筒里面至少放进（? ）支铅笔。（商+1）

　　3、观察算式，同桌讨论，发现规律。

　　铅笔数÷笔筒数=商……余数” “至少数=商+1”

　　你和他们的发现相同吗？出示：商+1

　　4、质疑：和余数有没有关系？

　　（明确：与余数无关，因为不管余多少，都要再平均分，所以就用“商+1”）

　　（五）归纳概括鸽巢原理

　　1、解答：那现在会求100支铅笔放进30个笔筒中的至少数了吗？

　　100÷30=3…… 10?? 3+1=4 至少数是4个

　　(因为把100支铅笔平均放进30个笔筒中，每个笔筒屉放3支，剩下的10支在平均再放进其中10个笔筒中。所以，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进4支铅笔。)

　　2、推广：

　　刚才我们研究了铅笔放入笔筒的问题，其他还有很多问题和它有相同之处。请看：

　　（1）书本放进抽屉

　　把8本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么？

　　8÷3=2……2? 2+1=3

　　(因为把8本书平均放进3个抽屉，每个抽屉放2本，剩下的2本就要放进其中的2个抽屉。所以，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。)

　　（2）鸽子飞进鸽巢

　　11只鸽子飞进4个鸽笼，至少有几只鸽子飞进同一只鸽笼？

　　11÷4=2……3? 2+1=3

　　答：至少有 3只鸽子飞进同一只鸽笼。

　　（3）车辆过高速路收费口（图）

　　（4）抢凳子

　　书、鸽子、同学就相当于铅笔，称为要放的物体，抽屉、鸽笼、凳子就相当于笔筒，统称为抽屉。物体数量大于抽屉数量，类似的问题我们都可以用这种方法解答。

　　3、建立模型：鸽巢原理：

　　同学们发现的这个原理和一位数学家发现的一模一样，让我们追溯到150多年以前：

　　知识链接：（课件）最早指出这个数学原理的，是十九世纪的德国数学家“狄利克雷”，后来人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄利克雷原理”。以上这些问题有相同之处，其实鸽巢、抽屉就相当于笔筒，鸽子、书就相当于铅笔。人们对鸽子飞回鸽巢这个事例记忆犹新，所以像这样的数学问题就叫做鸽巢问题或抽屉问题，它被广泛地应用于现实生活中。运用这一规律能解决许多有趣的'问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。

　　揭示课题：这是我们今天学习的第五单元数学广角——鸽巢问题，它们里面蕴含的这种数学原理，我们就叫做鸽巢原理或抽屉原理。

　　5、小结：分析这类问题时，要想清楚谁是鸽子，谁是鸽巢？

　　有信心用我们发现的原理继续接受挑战吗？

　　3、巩固与应用

　　那我们回头看看课前小魔术，你明白它的秘密了吗？

　　1、 揭秘魔术：一副牌，取出大小王，还剩52张牌，你们5 人每人随意抽一张，我知道至少有2张牌是同花色的。

　　答：因为把5张牌，平均分在4个花色里，每个花色有1张，剩下的1张无论是什么花色，总有一个花色至少是2张。

　　正确应用鸽巢原理是表演成功的秘密武器！

　　2、飞镖运动

　　同学们玩过投飞镖吗？飞镖运动是一种集竞技、健身及娱乐于一体的绅士运动。

　　课件：张叔叔参加飞镖运动比赛，投了5镖，成绩是41环，张叔叔至少有一镖不低于（? ）环。

　　在练习本上算一算，讲给你的同桌听听。

　　谁来给大家说说你是怎么想的？（5相当于鸽巢，41相当于鸽子。把......）

　　41÷5=8……1? 8+1=9

　　在我们同学身上也有鸽巢问题，让我们先了解一下六年级的情况。

　　3、我们六年级共有367名学生，其中六（2班）有49名学生。

　　（1）六年级里至少有两人的生日是同一天。

　　（2）六（2）班中至少有5人的生日是在同一个月。

　　他们说的对吗？为什么？

　　同桌讨论一下。

　　谁来说说你们的想法？

　　（1、367人相当于鸽子，365、或366天相当于鸽巢......

　　? 2、49人相当于鸽子，12个月相当于鸽巢......）

　　真理是越辩越明！

　　3、星座测试命运

　　说起生日，我想起了现在非常流行的星座。采访几位同学，你是什么星座？

　　你用星座测试过命运吗？你相信星座测试的命运吗？

　　我们用鸽巢原理来说说你的想法。

　　全中国13亿人，12个星座，总有至少一亿以上的人命运相同。尽管他们的出身、经历、天资、机遇各不相同，但他们却具有完全相同的命，可能吗？这真的很荒谬。用星座测试命运，充其量是一种游戏娱乐一下而已，命运掌握在自己手中。

　　4、柯南破案：

　　?? “鸽巢问题”的原理不仅在数学中有用，在现实生活中也随处可见，看，谁来了？

　　（课件）有一次，小柯南走在大街上，无意间听到了一位老大爷和一个年轻人的对话：

　　年轻人：大爷，我最近急用钱，想把我的一个手机号卖掉，价格500元，请问您要吗？

　　大爷：是什么手机号呢？这么贵？

　　年轻人：我的手机号很特别，它所有的数字中没有一个数字重复......所以才这么贵的！

　　老大爷：哦！

　　听到这里，柯南马上跑过去悄悄提醒老大爷：“大爷，这是一个骗子，您要小心！”并且马上报了警，警察赶到后调查发现这个人果真是个骗子。

　　聪明的你，知道柯南是根据什么判断那个年轻人是骗子的吗？

　　（手机号11位数字相当于鸽子。0-9这十个数字相当于鸽巢，11÷10=1…1? 1+1=2，总有至少一个数字重复出现。）

　　4、 回顾与整理。

　　这节课我们认识了“鸽巢问题”，其实生活中还有许多的类似于“鸽巢问题”这样的知识等待我们去发现，去挖掘。只要你留心观察加上细心思考，一定会在平凡的事件中有不平凡的发现，也能创造一条真正属于你自己的原理！

　　下 课！

　　板书设计：

　　鸽? 巢? 问? 题

　　?? 物体? 抽屉  至少数

　　4?   ÷ 3  =? 1……1?? ?? 1＋1=2?

　　5? ? ÷ 4? =? 1……1? ? ? 1＋1=2?

　　7? ? ÷ 5? =? 1……2? ? ? 1＋1=2??

　　9 ?? ÷ 5? =? 1……4?  ?? 1＋1=2??

　　11 ? ÷?  5? =? 2……1 ?? ? 2＋1=3??

　　28?? ?? ÷ 5? =? 5……3?  ?? 5＋1=6??

　　100?? ? ÷  30? =? 3……1   3＋1=4?

　　m   ÷ n ＝ 商……余数? 商+1