中专高三数学教案例文

2021中专高三数学教案例文1

一、指导思想

今年是我省使用新教材的第八年，即进入了新课程标准下高考的第六年。高三数学教学要以《数学课程标准》为依据，全面贯彻教育方针，积极实施素质教育。 提高学生的学习能力仍是我们的奋斗目标。 近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新 的原则。 高考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现 了变知识立意为能力立意这一举措。 更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素 养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。

二、 注意事项

1、 高度重视基础知识，基本技能和基本方法的复习。

“基础知识，基本技能和基本方法”是高考复习的重点。我们希望在复习课中 要认真落实 “基础练习”，并注意蕴涵在基础知识中的能力因素，注意基本问题中 的能力培养。 特别是要学会把基础知识放在新情景中去分析，应用。

2、 高中的‘重点知识’在复习中要保持较大的比重和必要的深度。

原来的重点内容函数、不等式、数列、向量、立体几何，平面三角及解析几何 中的综合问题等。 在教学中，要避免重复及简单的操练。新增的内容:算法、概率等 内容在复习时也应引起我们的足够重视 。总之高三的数学复习课要以培养逻辑思维 能力，加强运算能力为主体进行复习。

3、 重视‘通性、通法’的落实。

要把复习的重点放在教材中典型例题、习题上;放在体现通性、通法的例题、 习题上;放在各部分知识网络之间的内在联系上抓好课堂教学质量，定出实施方法 和评价方案。

4、 认真学习《_省2015 年高考考试说明》，研究近三年的高考试题，提高复习课 的效率。

《考试说明》是命题的依据，复习的依据。 高考试题是《考试说明》的具体体 现。 只有研究近年来的考试试题，才能加深对《考试说明》的理解，找到我们与命 题专家在认识《考试说明》上的差距。 并力求在二轮复习中缩小这一差距，更好地 指导我们的复习。

5、 渗透数学思想方法，培养数学学科能力。

《考试说明》明确指出要考查数学思想方法， 要加强学科能力的考查。 我们在 复习中要加强数学思想方法的复习， 如转化与化归的思想、函数与方程的思想、分 类讨论的思想、数形结合的思想。 以及配方法、换元法、待定系数法、反证法、数 学归纳法、解析法等数学基本方法都要有意识地根据学生学习实际予以复习及落实。

6、 二轮复习课中注意新的目标定位。

① 培养学生搜集和处理信息的能力;

② 激发学生的创新精神;

③ 培养学生在学习过程中的的合作精神;

④ 激活显示各科知识的储存，尝试相关知识的灵活应用及综合应用。

三、知识和能力要求

1、知识要求 对知识的要求由低到高分为三个层次，依次是知道和感知、理解和掌握、灵活 和综合运用，且高一级的层次要求包括低一级的层次要求。

(1)感知和了解:要求对所学知识的含义有初步的了解和感性的认识或初步的 理解，知道这一知识内容是什么，并能在有关的问题中识别、模仿、描述它。

(2)理解和掌握:要求对所学知识内容有较为深刻的理论认识，能够准确地刻 画或解释、举例说明、简单的变形、推导或证明、抽象归纳，并能利用相关知识解 决有关问题。

(3)灵活和综合运用:要求系统地掌握知识的内在联系，能灵活运用所学知识 分析和解决较为复杂的或综合性的数学现象与数学问题。

2、能力要求

能力主要指运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推 理论证能力以及实践能力和创新意识。

(1)运算求解能力:会根据法则、公式进行正确运算、变形;能根据问题的条件， 寻找与设计合理、简捷运算途径。

(2)数据处理能力:会收集、整理、分析数据，能抽取对研究问题有用的信息， 并作出正确的判断;能根据要求对数据进行估计和近似计算。

(3)空间想象能力:会画简单的几何图形;能准确地分析图形中有关量的相互关 系;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。

(4)抽象概括能力:能从具体、生动的实例中，发现研究对象的本质;能从给定 的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断。

(5)推理论证能力:会根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学 命题真实性。

(6)应用意识和实践能力:能够对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类， 将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型;能应用相关的数学方法解决问题。

(7)创新意识和能力:能够独立思考，灵活和综合地运用所学数学的知识、思想 和方法，提出问题、分析问题和解决问题。

四、学生情况分析:

1 基础知识掌握情况分析: 高三一部11、12 班大部分学生基础知识掌握情况较差，计算能力不强，一些基 本的题型都不能自如的解决。通过一段的一轮复习，大部分学生对复习过的公式， 定理、法则都有了一定的认识与理解。基本能够记住该记公式，但对于没有复习的 部分，还是有一定的欠缺。表现为一些基本的公式、法则、定理等都忘掉了。

2 学习态度情况分析: 有相当一部分同学学习态度极为不端正，主要表现为:

(1)缺乏上进心，有相当一部分同学信心不足，没有必胜的勇气和信心。

(2)不能按时完成作业，有抄袭或只是解决一些简单的问题而缺乏深入研究难题的 习惯。

(3)缺乏自主复习的习惯，大部分同学只是在等老师引导进行一轮复习，而不能够 自己动手搞好提前复习，表现在考试(或作业)中遇到了没有复习的试题时，显得 毫无办法。

(4)缺乏动手能力及动手习惯，对复习过的知识不能及时的进行巩固、练习，所发 的讲义、练习卷等不能够及时、认真填写，导致对复习过的知识掌握的熟练程度不 够。

3 复习方式、方法分析:

(1)缺少科学有效的复习方法，有相当一部分同学没有改错本，在一些爱错的地方 不断的犯错。不能够做到“吃一堑、长一智”。

(2)一些同学不会听课，不会记笔记。上课时，整堂忙于记笔记，而忽视听讲，不 注意听思路的分析及探索过程。

(3)不注意归纳知识，复习到的只是一些零散的知识，而不是有效的知识、方法体 系，显得很笨。

(4)不注意经常回顾，对复习过的知识置之千里，而不去经常巩固、练习。时间长 了，又“生锈”了。

五、复习对策教学措施

1、尽快帮助学生树立信心!

2、教给学生科学的复习习惯和复习方法。

3、坚持基础知识训练。

4、对高考要考察的六类解答问题，一定要认真做好专题复习和训练; 每周训练两套模拟试题;每天做好专题训练的配套作业。

六、教学参考进度

1、 2 月10 日至4 月20 日为第二轮复习阶段。这一轮的复习方式是综合训练与专 题总结并举，在每周两次综合练习的基础上穿插专题总结;

2、 4 月21 日至5 月20 日为第三轮复习阶段。这一阶段主要以综合训练为主。每 周至少做三套综合练习题，题目来源为山东省各地市的一、二轮模拟题。

3、 5 月21 日至6 月7 日为回扣课本阶段。这一阶段主要根据第三轮综合练习中 的问题回顾课本，以达到进一步落实升华的目的。

七、二轮复习资料编写专题内容及分工安排

(一)专题分工 专题一:集合与简单逻辑用语------邓光珍 专题二:《函数与导数》---张福平 专题三:《三角函数及解三角形》----王富香 专题四:《数列》----姜守芹 专题五:《立体几何》----高吉泉 专题六:《解析几何(穿插向量)》----赵来伟 专题七:《概率与统计》----梁建国 专题八:《导数与积分》----梁建国 专题九:《思想方法与选择、填空题的解法》---高吉泉

(二)编写专题的基本要求:

1、专题以高考命题趋势、考点透视、知识框架题目、例题、专项训练的形式出 现，要精选题目，要有一定的综合性，难度要达到高考的要求，不能降低要求。

2、每个专题约4 天时间完成(包括过关测试)，采用讲练结合，以练为主。

3、各专题的题量要根据本专题的地位及难易程度，既要有小题，也要有大题。

4、每个专题在复习过程中要让学生理清本专题的常考考点、高考地位，高考分 值、主要题型、高考热点、重点等。 在第二轮复习的强化训练中，根据学生的实际情况，以强化训练为主。

在强化训 练中，命题一定要针对学生的实际情况，有针对性地命题，难度要适易，尤其中低 档强化训练题为主，不要过于拔高要求，各层次的训练都要狠抓基础，针对高考的 方向，切实做到通过强化训练，使学生的数学成绩能得到稳步提高。在强化训练的 试卷讲评中，要提前探讨和思考，让学生有回顾的余地，切忌发下试卷就讲评，且 要有针对性的讲解，老师备课一定要备学生，尽可能一节课的时间讲评完试卷，每 次的训练中要总结得与失，出现的问题要及时得到解决，问题较多的还要多次重复 考及多次训练。

八、本学期备课内容及进度: 周次 、内容 、目的、要求 重点、考点热点

1 市第二次统考 试卷讲评

2 专题一集合与简单逻辑用语 知识框架、双基 集合运算和充分 必要条件

3 专题二函数与导数 知识框架、双基 函数不等式综合 应用

4 第三专题角函数及解三角形 知识网络、双基 数列综合应用

5 第四专题数列 函数创新探究 函数创新综合

6 专题五立体几何 回扣双基、知识框架 立体几何综合 应用

7 专题六解析几何 知识框架、回扣双基 解析几何综合应 用

8 市三次统考 试卷讲评

9 第七专题概率与统计 知识框架、双基 概率统计综合

10 第八专题导数应用和积分 双基、知识要点 导数综合应用

11 第九专题思想方法和选、填题解 法 回扣基本方法和思想 数形结合、分类 讨论、化归转化、 函数与方程

12 市四次统考 试卷讲评

13 考前模拟训练 综合训练、应试能力和技巧 重点、热点讲评

14 回扣课本、反馈双基 查缺补漏，回归课本

15 回扣课本、反馈双基 回归课本，考试方法

16 高考

2021中专高三数学教案例文2

一、教学内容分析

本节内容是学生在学习了乘法原理、排列、排列数公式和加法原理以后的知识，学生已经掌握了排列问题，并且对顺序与排列的关系已经有了一个比较清晰的认识.因此关键是排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系，指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.

二、教学目标设计

1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式;

2.能正确认识组合与排列的联系与区别

3.通过练习与训练体验并初步掌握组合数的计算公式

三、教学重点及难点

组合概念的理解和组合数公式;组合与排列的区别.

四、教学用具准备

多媒体设备

五、教学流程设计



六、教学过程设计

一、 复习引入

1.复习

我们在前几节中学习了排列、排列数以及排列数公式

定 义

特 点

相同排列

公 式

排 列

 以上由学生口答.

2.引入

那么请问：平面上有7个点，问以这7点中任何两个为端点，构成有向线段有几条?

这是一个排列问题

若改为：构成的线段有几条?则为
，

其实亦可用另一种方法解决，这就是组合.

二、学习新课

探究性质

1. 组合定义： P16

一般地，从
个不同元素中取出

个元素并成一组，叫做从
个不同元素中取出
个元素的一个组合.

【说明】：⑴不同元素; ⑵“只取不排”——无序性;

⑶相同组合：元素相同.

2.组合数定义：

从
个不同元素中取出

个元素的所有组合的个数，叫做从
个不同元素中取出
个元素的组合数.用符号
表示.

如：引入中的例子可表示为

=
=
这是为什么呢?

因为 构成有向线段的问题可分成2步来完成：

第一步，先从7个点中选2个点出来，共有
种选法;

第二步，将选出的2个点做一个排列，有
种次序;

根据乘法原理，共有
·
=
所以

·判断何为排列、组合问题： 利用书本P16～P17例题请学生判断

·

这个公式叫组合数公式

3.组合数公式：

如
=
=

用计算器求
、
、
、

可发现
=

=

由此猜想:

用实际例子说明：比如要从50人中挑选4个出来参加迎春长跑的选择方案有
，就相当于挑46个人不参加长跑的选择方案
一样.“取法”与“剩法”是“一 一对应”的.

证明：∵

又
，∴

当m=n时，

此性质作用：当
时，计算
可变为计算
，能够使运算简化.

4. 组合数性质：

1、

2、
=

可解释为：从
这n 1个不同元素中取出m个元素的组合数是
，这些组合可以分为两类：一类含有元素
，一类不含有
.含有
的组合是从
这n个元素中取出m (1个元素与
组成的，共有
个;不含有
的组合是从
这n个元素中取出m个元素组成的，共有
个.根据加法原理，可以得到组合数的另一个性质.在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想.

证明：

得证.

【说明】1( 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数.

2( 此性质的作用：恒等变形，简化运算.在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用.

2.例题分析

例1、(1)
，求x

(2)

(3)

略解：(1)

(2)

(3)

例2、应用题：

有15本不同的书，其中6本是数学书，问：

分给甲4本，且都不是数学书;

略解：(1)

3.问题拓展

例3.题设同例2：

(2)平均分给3人;

(3)若平均分为3份;

(4)甲分2本，乙分7本，丙分6本;

(5)1人2本，1人7本，1人6本.

略解：(2)
(3)

(4)
(5)

三、课堂小结

指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.

能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.

学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题;否则是排列问题.

排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常理或常规的做法).要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.

四、作业布置

(略)

七、教学设计说明

在学习过程中，从排列问题引入，随即自然地过渡到组合问题.由此让学生对于排列与组合两者的异同有深刻理解，并能自如地进行判断.

本节课在教学技术上通过多媒体课件大大缩短了教师板书抄题的时间，让学生能够更加连贯的思考以及探索问题.

在例题的设计上从最基本的组合数公式的利用，到简单的应用题，再到组合中较难的分组分配以及平均不平均分配问题的训练，由浅入深，层层递进，以积极发挥课堂教学的基础型和研究型功能，培养学生的基础性学力和发展性学力.

在课堂教学中教师遵循“以学生为主体”的思想，鼓励学生善于观察和发现;鼓励学生积极思考和探究;鼓励学生大胆猜想，努力营造一个民主和谐、平等交流的课堂氛围，采取对话式教学，调动学生学习的积极性，激发学生学习的热情，使学生开阔思维空间，让学生积极参与教学活动，提高学生的数学思维能力.

2021中专高三数学教案例文3

一 教材分析

本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此，正弦定理和余弦定理的知识非常重要。

根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：

认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。

能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题。

情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

二 教法

根据教材的内容和编排的特点，为是更有效地突出重点，空破难点，以学业生的发展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以教师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想， 采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励，使他们知难而进。另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。突破难点的方法：抓住学生的能力线联系方法与技能使学生较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破难点

三 学法：

指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。

四 教学过程

第一：创设情景，大概用2分钟

第二：实践探究，形成概念，大约用25分钟

第三：应用概念，拓展反思，大约用13分钟

(一)创设情境，布疑激趣

“兴趣是的老师”，如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半，本节课由一个实际问题引入，“工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠A=47°,∠B=53°,AB长为1m,想修好这个零件，但他不知道AC和BC的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗?”激发学生帮助别人的热情和学习的兴趣，从而进入今天的学习课题。

(二)探寻特例，提出猜想

1.激发学生思维，从自身熟悉的特例(直角三角形)入手进行研究，发现正弦定理。

2.那结论对任意三角形都适用吗?指导学生分小组用刻度尺、量角器、计算器等工具对一般三角形进行验证。

3.让学生总结实验结果，得出猜想：

在三角形中，角与所对的边满足关系

这为下一步证明树立信心，不断的使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。

(三)逻辑推理，证明猜想

1.强调将猜想转化为定理，需要严格的理论证明。

2.鼓励学生通过作高转化为熟悉的直角三角形进行证明。

3.提示学生思考哪些知识能把长度和三角函数联系起来，继而思考向量分析层面，用数量积作为工具证明定理，体现了数形结合的数学思想。

4.思考是否还有其他的方法来证明正弦定理，布置课后练习，提示，做三角形的外接圆构造直角三角形，或用坐标法来证明

(四)归纳总结，简单应用

1.让学生用文字叙述正弦定理，引导学生发现定理具有对称和谐美，提升对数学美的享受。

2.正弦定理的内容，讨论可以解决哪几类有关三角形的问题。

3.运用正弦定理求解本节课引入的三角形零件边长的问题。自己参与实际问题的解决，能激发学生知识后用于实际的价值观。

(五)讲解例题，巩固定理

1.例1。在△ABC中，已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形.

例1简单，结果为解，如果已知三角形两角两角所夹的边，以及已知两角和其中一角的对边，都可利用正弦定理来解三角形。

2. 例2. 在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.

例2较难，使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能。要求学生熟悉掌握已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形。完了把时间交给学生。

(六)课堂练习，提高巩固

1.在△ABC中,已知下列条件,解三角形.

(1)A=45°,C=30°,c=10cm

(2)A=60°,B=45°,c=20cm

2. 在△ABC中,已知下列条件,解三角形.

(1)a=20cm,b=11cm,B=30°

(2)c=54cm,b=39cm,C=115°

学生板演，老师巡视，及时发现问题，并解答。

(七)小结反思，提高认识

通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法?你对此有何体会?

1.用向量证明了正弦定理，体现了数形结合的数学思想。

2.它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系。

3.定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运用分类讨论的思想。

(从实际问题出发，通过猜想、实验、归纳等思维方法，最后得到了推导出正弦定理。我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。在强调研究性学习方法，注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。)

(八)任务后延，自主探究

如果已知一个三角形的两边及其夹角，要求第三边，怎么办?发现正弦定理不适用了，那么自然过渡到下一节内容，余弦定理。布置作业，预习下一节内容。

五 板书设计

板书设计可以让学生一目了然本节课所学的知识，证明正弦定理的方法以及正弦定理可以解决的两类问题。

2021中专高三数学教案例文4

教学目标

(1)正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列;

(2)了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列;

(3)会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;

教学重点难点

重点是排列的定义、排列数并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题。

难点是解有关排列的应用题。

教学过程设计

一、 复习引入

上节课我们学习了两个基本原理，请大家完成以下两题的练习(用投影仪出示)：

1.书架上层放着50本不同的社会科学书，下层放着40本不同的自然科学的书.

(1)从中任取1本，有多少种取法?

(2)从中任取社会科学书与自然科学书各1本，有多少种不同的取法?

2.某农场为了考察三个外地优良品种A，B，C，计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的土地上分别进行引种试验，问共需安排多少个试验小区?

找一同学谈解答并说明怎样思考的的过程

第1(1)小题从书架上任取1本书，有两类办法，第一类办法是从上层取社会科学书，可以从50本中任取1本，有50种方法;第二类办法是从下层取自然科学书，可以从40本中任取1本，有40种方法.根据加法原理，得到不同的取法种数是50+40=90.第(2)小题从书架上取社会科学、自然科学书各1本(共取出2本)，可以分两个步骤完成：第一步取一本社会科学书，第二步取一本自然科学书，根据乘法原理，得到不同的取法种数是： 50×40=2000.

第2题说，共有A，B，C三个优良品种，而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区，在乙类型的土地上有三个小区……所以共需3×5=15个实验小区.

二、 讲授新课

学习了两个基本原理之后，现在我们继续学习排列问题，这是我们本节讨论的重点.先从实例入手：

1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票?

由学生设计好方案并回答.

(1)用加法原理设计方案.

首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票;若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2=6种飞机票.

(2)用乘法原理设计方案.

首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法.即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选.那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有3×2=6种.

根据以上分析由学生(板演)写出所有种飞机票

再看一个实例.

在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号.如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号?

找学生谈自己对这个问题的想法.

事实上，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，所以不同颜色的同时升起可以表示出来的信号种数，也就是红、黄、绿这三面旗子的所有不同顺序的排法总数.

首先，先确定位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法;

其次，确定中间位置的旗子，当位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法.剩下那面旗子，放在最低位置.

根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3×2×1=6(种).

根据学生的分析，由另外的同学(板演)写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况.(包括每个位置情况)

第三个实例，让全体学生都参加设计，把所有情况(包括每个位置情况)写出来.

由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数?写出这些所有的三位数.

根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有4×3×2=24(个).

请板演的学生谈谈怎样想的?

第一步，先确定百位上的数字.在1，2，3，4这四个数字中任取一个，有4种取法.

第二步，确定十位上的数字.当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字去取，有3种方法.

第三步，确定个位上的数字.当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字中去取，有2种方法.

根据乘法原理，所以共有4×3×2=24种.

下面由教师提问，学生回答下列问题

(1)以上我们讨论了三个实例，这三个问题有什么共同的地方?

都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象.

(2)取出的这些研究对象又做些什么?

实质上按着顺序排成一排，交换不同的位置就是不同的情况.

(3)请大家看书，第×页、第×行. 我们把被取的对象叫做双元素，如上面问题中的民航站、旗子、数字都是元素.

上面第一个问题就是从3个不同的元素中，任取2个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，后来又写出所有排法.

第二个问题，就是从3个不同元素中，取出3个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少排法和写出所有排法.

第三个问题呢?

从4个不同的元素中，任取3个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，并写出所有的排法.

给出排列定义

请看课本，第×页，第×行.一般地说，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素(本章只研究被取出的元素各不相同的情况)，按着一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

下面由教师提问，学生回答下列问题

(1)按着这个定义，结合上面的问题，请同学们谈谈什么是相同的排列?什么是不同的排列?

从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序(即元素所在的位置)也必须相同.两个条件中，只要有一个条件不符合，就是不同的排列.

如第一个问题中，北京—广州，上海—广州是两个排列，第三个问题中，213与423也是两个排列.

再如第一个问题中，北京—广州，广州—北京;第二个问题中，红黄绿与红绿黄;第三个问题中231和213虽然元素完全相同，但排列顺序不同，也是两个排列.

(2)还需要搞清楚一个问题，“一个排列”是不是一个数?

生：“一个排列”不应当是一个数，而应当指一件具体的事.如飞机票“北京—广州”是一个排列，“红黄绿”是一种信号，也是一个排列.如果问飞机票有多少种?能表示出多少种信号.只问种数，不用把所有情况罗列出来，才是一个数.前面提到的第三个问题，实质上也是这样的.

三、 课堂练习

大家思考，下面的排列问题怎样解?

有四张卡片，每张分别写着数码1，2，3，4.有四个空箱，分别写着号码1，2，3，4.把卡片放到空箱内，每箱必须并且只能放一张，而且卡片数码与箱子号码必须不一致，问有多少种放法?(用投影仪示出)

分析：这是从四张卡片中取出4张，分别放在四个位置上，只要交换卡片位置，就是不同的放法，是个附有条件的排列问题.

解法是：第一步把数码卡片四张中2，3，4三张任选一个放在第1空箱.

第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2空箱.

第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3空箱.

第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱.具体排法，用下面图表表示：

所以，共有9种放法.

四、作业

课本：P232练习1，2，3，4，5，6，7.

2021中专高三数学教案例文5

教学目标

(1)正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列;

(2)了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列;

(3)掌握排列数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的排列数;

(4)会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;

(5)通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，以培养学生严谨的学习态度。

教学建议

一、知识结构

二、重点难点分析

本小节的重点是排列的定义、排列数及排列数的公式，并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题.难点是导出排列数的公式和解有关排列的应用题.突破重点、难点的关键是对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决排列应用问题当中.

从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中任取m个元素的一个排列.因此，两个相同排列，当且仅当他们的元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同.排列数是指从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的种数，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能计算相应的排列数.排列与排列数是两个概念，前者是具有m个元素的排列，后者是这种排列的不同种数.从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的有序集，相当于一个排列，而这种有序集的个数，就是相应的排列数.

公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解.要重点分析好 的推导.

排列的应用题是本节教材的难点，通过本节例题的分析，应注意培养学生解决应用问题的能力.

在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用.

在教学排列应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个排列数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求.

三、教法建议

①在讲解排列数的概念时，要注意区分“排列数”与“一个排列”这两个概念.一个排列是指“从n个不同元素中，任取出m个元素，按照一定的顺序摆成一排”，它不是一个数，而是具体的一件事;排列数是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，它是一个数.例如，从3个元素a，b，c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一排，有如下几种：

ab，ac，ba，bc，ca，cb，

其中每一种都叫一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号 表示排列数.

②排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”.

从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列.

在定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别.

在排列的定义中 ，如果 有的书上叫选排列，如果 ，此时叫全排列.

要特别注意，不加特殊说明，本章不研究重复排列问题.

③关于排列数公式的推导的教学.公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解.课本上用的是不完全归纳法，先推导 ， ，…，再推广到 ，这样由特殊到一般，由具体到抽象的讲法，学生是不难理解的.

导出公式 后要分析这个公式的构成特点，以便帮助学生正确地记忆公式，防止学生在“n”、“m”比较复杂的时候把公式写错.这个公式的特点可见课本第229页的一段话：“其中，公式右边第一个因数是n，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是 ，共m个因数相乘.”这实际是讲三个特点：第一个因数是什么?最后一个因数是什么?一共有多少个连续的自然数相乘.

公式 是在引出全排列数公式 后，将排列数公式变形后得到的公式.对这个公式指出两点：(1)在一般情况下，要计算具体的排列数的值，常用前一个公式，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证，要用到这个公式，教材中第230页例2就是用这个公式证明的问题;(2)为使这个公式在 时也能成立，规定 ，如同 时 一样，是一种规定，因此，不能按阶乘数的原意作解释.

④建议应充分利用树形图对问题进行分析，这样比较直观，便于理解.

⑤学生在开始做排列应用题的作业时，应要求他们写出解法的简要说明，而不能只列出算式、得出答数，这样有利于学生得更加扎实.随着学生解题熟练程度的提高，可以逐步降低这种要求.

教学设计示例