函数的极值与导数教学设计

　　一、目标

　　知识与技能：理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数的极值的步骤；

　　过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

　　情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

　　二、重点难点

　　教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.

　　教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的`极值的步骤.

　　三、教学过程

　　函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便．

　　四、学情分析

　　我们的学生属于平行分班，学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。

　　五、教学方法

　　发现式、启发式

　　新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习

　　六、课前准备

　　1．学生的学习准备：

　　2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

　　七、课时安排：1课时

　　八、教学过程

　　(一)预习检查、总结疑惑

　　检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

　　提问

　　（二）情景导入、展示目标。

　　设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。

　　1、有关概念

　　(1).极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点

　　(2).极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点

　　(3).极大值与极小值统称为极值

　　在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：

　　（4）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是大或小；并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

　　（5）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个

　　（6）极大值与极小值之间

　　无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如上图所示，是极大值点，是极小值点，而>

　　（7）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点

　　2.判别f(x0)是极大、极小值的方法:

　　若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值

　　3.求可导函数f(x)的极值的步骤:

　　(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)

　　(2)求方程f′(x)=0的驻点（一阶导数为0的x的值）

　　(3)检查f′(x)=0的驻点左右的符号；如果左正右负，那么f(x)在这个驻点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个驻点处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个驻点处无极值

　　（三）合作探究、精讲点拨。

　　例1．（课本例4）求的极值

　　解：因为，所以。

　　令，得

　　下面分两种情况讨论：

　　（1）当>0,即，或时；（2）当<0,即时.

　　当x变化时，，的变化情况如下表：

　　2(-2,2)2

　　+0－0+

　　极大值

　　极小值

　　因此，=；

　　函数的图像如图所示。

　　例2求y=(x2－1)3+1的极值

　　解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2,令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1

　　当x变化时，y′，y的变化情况如下表

　　-1(-1,0)0(0,1)1

　　－0－0+0+

　　?无极值?极小值0?无极值?

　　∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0

　　例3设，在和处有极值，且=－1,求，，的值，并求出相应的值。

　　解：，∵是函数的极值点，则－1,1是方程的根，即有?，又，则有，由上述三个方程可知，，，此时，函数的表达式为，∴，令，得，当变化时，，的变化情况表：

　　-1(-1,1)1

　　+0－0+

　　极大值1极小值－1

　　由上表可知，，

　　（学生上黑板解答）

　　多媒体展示探究思考题。

　　在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导。(课堂实录)

　　（四）反思总结，当堂检测。

　　教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

　　设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）

　　（五）发导学案、布置预习。

　　设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。

　　九、板书设计

　　极大值:

　　极大值点:

　　极小值:

　　极小值点：

　　极值：

　　十、教学反思

　　本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。

　　在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!